- 1MENUALPHAA24Equation/Func → Polynomial → bậc 4
- 21=0=-5=0=4=Nhập 5 hệ số
- 3===Xem lần lượt x₁ … x₄
Công cụ này giải phương trình bậc bốn ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 ngay trên trình duyệt và hiện đúng chuỗi phím MENU A 2 4 của máy Casio fx-580VN X, kèm đủ bốn nghiệm và dạng phân tích nhân tử. Dùng cho học sinh lớp 12 khi phương trình trùng phương hoặc bậc bốn xuất hiện trong bài khảo sát hàm số.
Trong đề thi tốt nghiệp THPT từ 2025, dạng phương trình bậc bốn thường nằm ở Phần I trắc nghiệm dưới hình thức phương trình trùng phương, hoặc là bước trung gian của Phần III khi bạn cần tách nhân tử trước khi xét dấu hay tính diện tích hình phẳng.
Cách bấm trên Casio fx-580VN X
Trên fx-580VN X, phương trình bậc bốn nằm trong MENU A (Equation/Func), mục 2 Polynomial, chọn bậc 4 rồi nhập lần lượt năm hệ số a, b, c, d, e.
- MENU ALPHA A 2 4 — Equation/Func → Polynomial → bậc 4
- nhập 1 = nhập 0 = nhập −5 = nhập 0 = nhập 4 = — Nhập 5 hệ số
- = = = — Xem lần lượt x₁ … x₄
Kết quả mong đợi trên máy: x = 2, 1, −1, −2.
Trên fx-880BTG
Chuỗi phím trên fx-880BTG cho dạng bậc bốn đang được bổ sung; bạn tạm dùng chuỗi phím fx-580VN X ở trên, hoặc trên máy 880BTG vào HOME, chọn app Equation, mục Polynomial rồi làm theo hướng dẫn trên màn hình.
Cách đọc kết quả máy hiện
Máy hiện nghiệm thực trước, bấm = để xem tiếp; số nghiệm thực của phương trình bậc bốn luôn là số chẵn (0, 2 hoặc 4).
- Bốn nghiệm thực: bấm = lần lượt qua x₁ đến x₄, máy sắp theo thứ tự từ lớn đến nhỏ.
- Hai nghiệm thực, hai nghiệm phức: khi phần còn lại sau khi hạ bậc có Δ âm, hai nghiệm sau hiện dạng a ± bi.
- Bốn nghiệm phức: có thể xảy ra khi đa thức vô nghiệm thực, ví dụ dạng x⁴ + hằng số dương không phân tích được trên ℝ.
- x-Value Minimum / Maximum: xem bằng ▼ sau nghiệm cuối, cho các điểm cực trị của đồ thị hàm bậc bốn.
- Công cụ trên trang hiện thêm dạng phân tích nhân tử, ví dụ (x + 2)(x − 2)(x² + 4), giúp bạn viết lại phương trình nhanh.
Công thức / Cách làm
Máy dùng thuật toán số lặp để dò nghiệm; công cụ dùng phương pháp Durand–Kerner rồi làm sạch nghiệm hữu tỉ bằng định lý nghiệm hữu tỉ.
- Thử các nghiệm hữu tỉ dạng p/q với p là ước của e, q là ước của a theo định lý nghiệm hữu tỉ.
- Với mỗi nghiệm hữu tỉ tìm được, chia đa thức cho (x − x₁) bằng sơ đồ Horner để hạ dần về bậc thấp hơn.
- Khi hạ về phương trình bậc hai, giải bằng công thức nghiệm; Δ quyết định hai nghiệm cuối là thực hay phức.
- Với phương trình trùng phương ax⁴ + cx² + e = 0, đặt t = x², giải phương trình bậc hai theo t rồi suy ra x = ±√t.
- Đạo hàm f'(x) = 4ax³ + 3bx² + 2cx + d; nghiệm của f'(x) = 0 là hoành độ các điểm cực trị.
| Trường hợp | Máy hiện | Ví dụ |
|---|---|---|
| 4 nghiệm thực | x₁ … x₄ là số nguyên hoặc phân số | x⁴ − 5x² + 4 = 0 → 2, 1, −1, −2 |
| 2 nghiệm thực, 2 nghiệm phức | hai x thực rồi cặp a ± bi | x⁴ − 16 = 0 → 2, −2, 2i, −2i |
| Trùng phương vô nghiệm thực | 4 nghiệm phức | x⁴ + 4 = 0 → không có nghiệm thực |
Máy tính 15 chữ số nội bộ và hiển thị 10 chữ số; với hệ số lớn, nghiệm thập phân trên máy và trên công cụ trùng nhau đến chữ số cuối.
Ví dụ
Ba ví dụ dưới đây lấy từ bộ case kiểm thử và chip mẫu của công cụ; bạn bấm đúng chuỗi phím sẽ ra đúng số trên màn hình máy.
| Đề bài | Nhập | Kết quả |
|---|---|---|
| Giải x⁴ − 5x² + 4 = 0 | a = 1, b = 0, c = −5, d = 0, e = 4 | x₁ = 2, x₂ = 1, x₃ = −1, x₄ = −2 |
| Giải x⁴ − 16 = 0 | a = 1, b = 0, c = 0, d = 0, e = −16 | x₁ = 2, x₂ = −2; x₃ = 2i, x₄ = −2i |
| Giải x⁴ − 2x³ − x² + 2x = 0 | a = 1, b = −2, c = −1, d = 2, e = 0 | x₁ = 2, x₂ = 1, x₃ = 0, x₄ = −1 |
Ví dụ 1: Đây là phương trình trùng phương với t = x²; giải t² − 5t + 4 = 0 được t = 4 hoặc t = 1, suy ra bốn nghiệm nguyên. Máy hiện lần lượt 2, 1, −1, −2 khi bấm = ba lần.
Ví dụ 2: Phân tích được (x + 2)(x − 2)(x² + 4); hai nghiệm đầu là số thực, hai nghiệm sau là số phức. Với chương trình lớp 12, bạn chỉ nhận x = 2 và x = −2.
Ví dụ 3: Đa thức có nhân tử chung x nên một nghiệm luôn bằng 0; ba nghiệm còn lại là 2, 1, −1. Đồ thị có hai điểm cực tiểu tại (−0,618033989; −1) và (1,618033989; −1), cực đại tại (1/2; 9/16).
Lỗi thường gặp khi bấm
Phần lớn kết quả sai ở dạng này đến từ việc thiếu hệ số khuyết hoặc dừng đọc nghiệm quá sớm.
- Bỏ qua hệ số bằng 0 khi phương trình khuyết bậc: phải nhập đủ 0 vào đúng vị trí b, c hoặc d rồi mới bấm =.
- Chỉ đọc hai nghiệm đầu rồi dừng: phải bấm = thêm để thấy đủ bốn nghiệm x₁ đến x₄.
- Nhập dấu trừ bằng phím − (phép trừ) thay vì phím (−) ở ô hệ số: máy báo Syntax ERROR.
- Thấy nghiệm có chữ i mà vẫn ghi cả bốn nghiệm vào đáp án: với đề thi lớp 12, chỉ nghiệm thực mới được tính.
- Để a = 0 rồi bấm =: máy báo Math ERROR vì không còn là phương trình bậc bốn; dùng công cụ giải phương trình bậc 3.
Gặp thông báo lỗi khác, tra nhanh tại bảng lỗi máy tính Casio và cách sửa.
Công cụ liên quan
Sau khi có nghiệm, các công cụ sau giúp bạn phân tích nhân tử, kiểm tra đáp án hoặc quay lại bậc thấp hơn.
- Giải phương trình bậc 3 bằng Casio — cùng menu MENU A 2 nhưng chọn bậc 3, bớt một hệ số
- Phân tích đa thức thành nhân tử — viết đa thức bậc bốn thành tích các nhân tử bậc thấp hơn
- Giải bất phương trình bậc 2, 3, 4 — xét dấu đa thức bậc bốn vừa giải để suy ra tập nghiệm bất phương trình
- Tìm cực trị và khoảng đơn điệu bằng Casio — tìm cực trị và khoảng đơn điệu của hàm bậc bốn từ đạo hàm f'(x)
- Kiểm tra đáp án trắc nghiệm bằng CALC — thử đáp án trắc nghiệm bằng CALC khi đề cho sẵn bốn phương án nghiệm
- Hub Phương trình & đại số — toàn bộ công cụ cùng nhóm, lọc theo lớp
Câu hỏi thường gặp
Phương trình bậc bốn trên Casio fx-580VN X có luôn cho đủ bốn nghiệm thực không?
Không. Số nghiệm thực của phương trình bậc bốn luôn là số chẵn: có thể là 4, 2 hoặc 0 nghiệm thực. Khi thiếu nghiệm thực, máy hiện thêm nghiệm phức dạng a ± bi. Với chương trình lớp 12, bạn chỉ ghi các nghiệm thực vào bài làm, trừ khi đề yêu cầu mở rộng sang tập số phức cho sinh viên.
Phương trình trùng phương ax⁴ + cx² + e = 0 có cần vào đúng MENU A 2 4 không?
Có, vẫn nhập đủ năm hệ số với b = 0 và d = 0 vào đúng vị trí. Máy không có mục riêng cho phương trình trùng phương nên bạn phải khai báo hệ số khuyết bằng 0 rồi bấm = qua từng ô, tránh bỏ sót khiến máy hiểu sai bậc của phương trình.
Vì sao hai nghiệm của tôi lặp lại giống nhau?
Đó là nghiệm bội, ví dụ phương trình có nhân tử (x − 1)² thì x = 1 xuất hiện hai lần trong danh sách nghiệm. Máy vẫn liệt kê đủ bốn giá trị theo bậc của đa thức dù có nghiệm trùng nhau; bạn chỉ cần ghi nghiệm đó kèm số bội khi trình bày lời giải tự luận.
Làm sao phân biệt phương trình bậc bốn vô nghiệm thực với phương trình có nghiệm kép?
Xem số lượng giá trị x không kèm chữ i trong kết quả. Nếu cả bốn nghiệm đều có i, phương trình vô nghiệm trên tập số thực. Nếu có giá trị x lặp lại đúng bằng nhau và không có i, đó là nghiệm kép thực sự; công cụ trên trang liệt kê rõ từng trường hợp để bạn đối chiếu nhanh.
Cực trị hiển thị trên công cụ có khớp với x-Value Minimum trên máy thật không?
Có. Sau khi xem hết bốn nghiệm, bấm ▼ trên máy Casio sẽ lần lượt hiện các mục x-Value Minimum hoặc Maximum kèm y-Value tương ứng, đúng bằng tọa độ cực trị công cụ tính từ đạo hàm f'(x) = 4ax³ + 3bx² + 2cx + d. Hàm bậc bốn có tối đa ba điểm cực trị.
Có cách nào giải nhanh phương trình bậc bốn không cần Casio không?
Nếu là trùng phương, bạn đặt t = x² rồi giải phương trình bậc hai theo t bằng tay. Với dạng tổng quát, cách nhanh nhất vẫn là dùng máy tính vì việc dò nghiệm hữu tỉ và chia đa thức bằng tay tốn nhiều bước; công cụ trên trang cho kết quả tức thì để bạn đối chiếu lại bài tự luận.
Căn cứ / Nguồn
- Hướng dẫn sử dụng fx-580VN X (Casio), mục “Equation/Func” – “Polynomial”: cách nhập hệ số bậc bốn và xem nghiệm, cực trị.
- SGK Toán 12 (Chân trời sáng tạo, tập 1), bài Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: liên hệ nghiệm phương trình bậc cao với đồ thị.
- Quyết định 4068/QĐ-BGDĐT (28/11/2023): cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT từ 2025 với ba phần I, II, III.
Chuỗi phím viết theo bố cục fx-580VN X; các mục đánh dấu “đang kiểm chứng” sẽ được xác nhận trên máy thật trước khi gỡ nhãn. Cập nhật: 21/09/2026.