- 1MENUALPHAA23Equation/Func → Polynomial → bậc 3
- 21=-6=11=-6=Nhập 4 hệ số a, b, c, d
- 3==Mỗi lần = xem thêm một nghiệm; ▼ xem cực trị (x-Value Minimum/Maximum)
Công cụ này giải phương trình bậc ba ax³ + bx² + cx + d = 0 ngay trên trình duyệt và hiện đúng chuỗi phím MENU A 2 3 của máy Casio fx-580VN X, kèm nghiệm thực, nghiệm phức và dạng phân tích nhân tử. Dùng cho học sinh lớp 12 khi khảo sát hàm bậc ba hoặc cần nghiệm nhanh để vẽ đồ thị.
Trong đề thi tốt nghiệp THPT từ 2025, dạng phương trình bậc ba thường nằm ở Phần I trắc nghiệm khi đề cho sẵn bốn phương án nghiệm, hoặc là bước trung gian của Phần III khi bạn cần tách nhân tử trước khi xét dấu hay tính diện tích hình phẳng.
Cách bấm trên Casio fx-580VN X
Trên fx-580VN X, phương trình bậc ba nằm trong MENU A (Equation/Func), mục 2 Polynomial, chọn bậc 3 rồi nhập lần lượt bốn hệ số a, b, c, d.
- MENU ALPHA A 2 3 — Equation/Func → Polynomial → bậc 3
- nhập 1 = nhập −6 = nhập 11 = nhập −6 = — Nhập 4 hệ số a, b, c, d
- = = — Mỗi lần = xem thêm một nghiệm; ▼ xem cực trị (x-Value Minimum/Maximum)
Kết quả mong đợi trên máy: x₁ = 3, x₂ = 2, x₃ = 1.
Trên fx-880BTG
Chuỗi phím trên fx-880BTG cho dạng bậc ba đang được bổ sung; bạn tạm dùng chuỗi phím fx-580VN X ở trên, hoặc trên máy 880BTG vào HOME, chọn app Equation, mục Polynomial rồi làm theo hướng dẫn trên màn hình.
Cách đọc kết quả máy hiện
Máy hiện nghiệm thực trước, bấm = để xem nghiệm tiếp theo; nghiệm phức chỉ xuất hiện khi phương trình có ít hơn ba nghiệm thực.
- Ba nghiệm thực: bấm = lần lượt qua x₁, x₂, x₃, máy sắp theo thứ tự từ lớn đến nhỏ.
- Một nghiệm thực, hai nghiệm phức: phương trình bậc ba luôn có ít nhất một nghiệm thực; khi phần bậc hai còn lại có Δ âm, hai nghiệm sau hiện dạng a ± bi.
- Nghiệm phức chỉ dùng khi mở rộng sang số phức (sinh viên); với chương trình lớp 12, đề thi chỉ lấy nghiệm thực đã tìm được.
- x-Value Minimum / Maximum: xem bằng ▼ sau nghiệm cuối cùng, là tọa độ điểm cực trị của đồ thị hàm bậc ba (nếu có).
- Công cụ trên trang hiện thêm dạng phân tích nhân tử, ví dụ (x − 1)(x − 2)(x − 3), giúp bạn viết lại phương trình mà không cần chia đa thức bằng tay.
Công thức / Cách làm
Máy dùng thuật toán số lặp để dò nghiệm; công cụ dùng phương pháp Durand–Kerner rồi làm sạch nghiệm hữu tỉ bằng định lý nghiệm hữu tỉ.
- Thử các nghiệm hữu tỉ dạng p/q với p là ước của d, q là ước của a theo định lý nghiệm hữu tỉ.
- Nếu tìm được nghiệm x₁, chia đa thức cho (x − x₁) bằng sơ đồ Horner để hạ về phương trình bậc hai.
- Giải phương trình bậc hai còn lại bằng công thức nghiệm; Δ của phần này quyết định hai nghiệm sau là thực hay phức.
- Đạo hàm f'(x) = 3ax² + 2bx + c; nghiệm của f'(x) = 0 (nếu có) là hoành độ hai điểm cực trị.
- Nếu không có nghiệm hữu tỉ, máy và công cụ dùng phương pháp số để xấp xỉ nghiệm đến 10 chữ số thập phân.
| Trường hợp | Máy hiện | Ví dụ |
|---|---|---|
| 3 nghiệm hữu tỉ | x₁, x₂, x₃ là số nguyên hoặc phân số | x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 → 3, 2, 1 |
| 1 nghiệm thực, 2 nghiệm phức | x₁ thực rồi cặp a ± bi | x³ − 8 = 0 → 2, −1+√3i, −1−√3i |
| Nghiệm vô tỉ | hiện 10 chữ số thập phân | x³ − 3x² + 2 = 0 → 1 nghiệm nguyên, 2 nghiệm lẻ |
Máy tính 15 chữ số nội bộ và hiển thị 10 chữ số; với hệ số lẻ, nghiệm thập phân trên máy và trên công cụ trùng nhau đến chữ số cuối.
Ví dụ
Ba ví dụ dưới đây lấy từ bộ case kiểm thử và chip mẫu của công cụ; bạn bấm đúng chuỗi phím sẽ ra đúng số trên màn hình máy.
| Đề bài | Nhập | Kết quả |
|---|---|---|
| Giải x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 | a = 1, b = −6, c = 11, d = −6 | x₁ = 3, x₂ = 2, x₃ = 1; phân tích (x − 1)(x − 2)(x − 3) |
| Giải x³ − 8 = 0 | a = 1, b = 0, c = 0, d = −8 | x₁ = 2; x₂ = −1 + √3i; x₃ = −1 − √3i |
| Giải x³ − 3x² + 2 = 0 | a = 1, b = −3, c = 0, d = 2 | x₁ = 2,732050808; x₂ = 1; x₃ = −0,7320508076 |
Ví dụ 1: Ba nghiệm đều nguyên nên máy hiện lần lượt 3, 2, 1 khi bấm = ba lần; công cụ tự viết dạng nhân tử để bạn đối chiếu kết quả phân tích đa thức.
Ví dụ 2: Máy hiện nghiệm thực x₁ = 2 trước; hai nghiệm còn lại là số phức nên với chương trình lớp 12 bạn chỉ nhận nghiệm x = 2.
Ví dụ 3: Chỉ x₂ = 1 là nghiệm hữu tỉ; hai nghiệm còn lại vô tỉ nên máy hiện đủ 10 chữ số thập phân. Đồ thị có cực đại tại (0; 2) và cực tiểu tại (2; −2).
Lỗi thường gặp khi bấm
Phần lớn kết quả sai ở dạng này đến từ việc bỏ sót nghiệm hoặc nhập nhầm menu, không phải do máy.
- Chỉ đọc nghiệm đầu tiên rồi dừng: phải bấm = thêm hai lần nữa để thấy đủ x₂ và x₃ trên máy.
- Nhập dấu trừ bằng phím − (phép trừ) thay vì phím (−) ở ô hệ số: máy báo Syntax ERROR.
- Chọn nhầm bậc 2 trong MENU A 2 khi đề thực chất là bậc ba: bấm AC rồi vào lại MENU A 2 3.
- Thấy nghiệm có chữ i mà vẫn ghi cả ba nghiệm vào đáp án: với đề thi lớp 12, chỉ nghiệm thực mới được tính.
- Để a = 0 rồi bấm =: máy báo Math ERROR vì không còn là phương trình bậc ba; dùng công cụ giải phương trình bậc 2.
Gặp thông báo lỗi khác, tra nhanh tại bảng lỗi máy tính Casio và cách sửa.
Công cụ liên quan
Sau khi có nghiệm, các công cụ sau giúp bạn phân tích nhân tử, kiểm tra đáp án hoặc mở rộng lên bậc cao hơn.
- Phân tích đa thức thành nhân tử — viết đa thức bậc ba thành tích các nhân tử bậc thấp hơn, làm rõ bước Horner ở trên
- Chia đa thức – sơ đồ Horner — chia đa thức cho (x − x₁) bằng sơ đồ Horner nếu bạn muốn tự tay hạ bậc
- Giải phương trình bậc 4 bằng Casio — cùng menu MENU A 2 nhưng chọn bậc 4, thêm hệ số e
- Tìm cực trị và khoảng đơn điệu bằng Casio — tìm cực trị và khoảng đơn điệu của hàm bậc ba từ đạo hàm f'(x)
- Kiểm tra đáp án trắc nghiệm bằng CALC — thử đáp án trắc nghiệm bằng CALC khi đề cho sẵn bốn phương án nghiệm
- Hub Phương trình & đại số — toàn bộ công cụ cùng nhóm, lọc theo lớp
Câu hỏi thường gặp
Máy Casio fx-580VN X giải phương trình bậc ba có luôn ra đủ ba nghiệm không?
Không hẳn. Phương trình bậc ba luôn có ít nhất một nghiệm thực, nhưng hai nghiệm còn lại có thể là số phức nếu phần bậc hai sau khi hạ bậc có Δ âm. Khi đó máy hiện thêm cặp nghiệm dạng a ± bi; với chương trình lớp 12, bạn chỉ ghi nghiệm thực vào bài làm, còn hai nghiệm phức chỉ dùng khi đề mở rộng cho sinh viên.
Vì sao máy chỉ hiện một nghiệm dù tôi bấm = nhiều lần?
Có thể hai nghiệm còn lại là số phức nên không xuất hiện khi máy đang ở chế độ tính thực, hoặc phương trình bạn nhập có nghiệm bội. Hãy kiểm tra lại bốn hệ số a, b, c, d đã đúng thứ tự chưa; nhập sai một hệ số dễ khiến máy chỉ tìm được một nghiệm thực duy nhất thay vì ba nghiệm như đề bài.
Làm sao biết phương trình bậc ba có nghiệm hữu tỉ hay không?
Dùng định lý nghiệm hữu tỉ: nghiệm hữu tỉ (nếu có) có dạng p/q với p là ước của hệ số tự do d, q là ước của hệ số bậc cao nhất a. Công cụ trên trang tự thử các ước này và viết ra dạng phân tích nhân tử; nếu không nghiệm nào khớp, đa thức chỉ có nghiệm vô tỉ hoặc nghiệm phức.
Chuỗi phím MENU A 2 3 có dùng được cho phương trình khuyết hệ số không?
Có. Nếu thiếu số hạng bậc hai hoặc bậc nhất, bạn vẫn phải nhập hệ số 0 vào đúng vị trí đó rồi bấm =, không được bỏ qua bước nhập. Ví dụ phương trình x³ − 8 = 0 cần nhập lần lượt 1, 0, 0, −8 để máy hiểu đúng là thiếu hệ số bậc hai và bậc nhất.
Kết quả cực đại, cực tiểu trên công cụ có giống mục x-Value Minimum trên máy không?
Có. Sau khi xem hết các nghiệm, bấm ▼ trên máy sẽ hiện x-Value Minimum hoặc x-Value Maximum kèm y-Value tương ứng — đó chính là tọa độ điểm cực trị công cụ đã tính bằng đạo hàm f'(x) = 3ax² + 2bx + c. Phương trình bậc ba có thể không có cực trị nếu f'(x) = 0 vô nghiệm.
Công cụ này có thay được việc phân tích đa thức bằng sơ đồ Horner khi làm bài tự luận không?
Không hoàn toàn. Công cụ giúp bạn kiểm tra nhanh nghiệm và dạng nhân tử để đối chiếu, nhưng bài tự luận vẫn cần trình bày từng bước chia Horner. Dùng thêm công cụ chia đa thức – sơ đồ Horner để xem chi tiết bảng hệ số nếu cần viết lời giải đầy đủ.
Căn cứ / Nguồn
- Hướng dẫn sử dụng fx-580VN X (Casio), mục “Equation/Func” – “Polynomial”: cách nhập hệ số bậc ba và xem nghiệm, cực trị.
- SGK Toán 12 (Kết nối tri thức, tập 1), bài Khảo sát hàm số bậc ba: liên hệ nghiệm phương trình với đồ thị.
- Quyết định 4068/QĐ-BGDĐT (28/11/2023): cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT từ 2025 với ba phần I, II, III.
Chuỗi phím viết theo bố cục fx-580VN X; các mục đánh dấu “đang kiểm chứng” sẽ được xác nhận trên máy thật trước khi gỡ nhãn. Cập nhật: 21/09/2026.