- 1MENUALPHAA231=-6=11=-6=Giải x³−6x²+11x−6=0 để lấy nghiệm
- 2==x = 3, 2, 1 → P(x) = (x−1)(x−2)(x−3)
Công cụ này phân tích đa thức hệ số nguyên bậc 2 đến 4 thành tích các nhân tử bậc nhất và bậc hai, đúng cách học sinh làm trên máy Casio fx-580VN X: giải MENU A 2 để lấy nghiệm hữu tỉ, rồi chia Horner để hạ bậc. Dùng cho học sinh lớp 8 học hằng đẳng thức và lớp 9 ôn thi vào 10.
Máy chỉ hiện nghiệm, không hiện tích; công cụ hiện cả hai, kèm bước dùng định lý nghiệm hữu tỉ và phần còn lại không phân tích được trên ℚ (ví dụ x² + 1). Với bài thi vào 10, đây là bước để rút gọn phân thức và giải phương trình tích.
Cách bấm trên Casio fx-580VN X
Trên fx-580VN X bạn vào MENU A (Equation/Func), chọn 2 Polynomial, chọn bậc 2, 3 hoặc 4 rồi nhập các hệ số từ bậc cao xuống bậc thấp, bấm = để xem từng nghiệm.
- MENU ALPHA A 2 3 nhập 1 = nhập −6 = nhập 11 = nhập −6 = — Giải x³−6x²+11x−6=0 để lấy nghiệm
- = = — x = 3, 2, 1 → P(x) = (x−1)(x−2)(x−3)
Kết quả mong đợi trên máy: x = 3, 2, 1.
Trên fx-880BTG
Trên fx-880BTG bạn vào HOME, chọn app Equation, mục Polynomial, chọn bậc rồi nhập hệ số và bấm EXE thay cho =. Chuỗi phím riêng cho 880BTG đang được bổ sung.
Cách đọc kết quả máy hiện
Mỗi nghiệm nguyên hoặc phân số máy hiện tương ứng một nhân tử bậc nhất; nghiệm có chữ i hoặc nghiệm thập phân không rút gọn được là phần không phân tích tiếp trên ℚ.
- Nghiệm nguyên x = r → nhân tử (x − r). Máy hiện x₁ = 3, x₂ = 2, x₃ = 1 cho x³ − 6x² + 11x − 6 thì tích là (x − 1)(x − 2)(x − 3).
- Nghiệm phân số x = p/q → nhân tử (qx − p). Máy hiện x = 1/2 nghĩa là có nhân tử (2x − 1); công cụ viết sẵn dạng này, không để (x − 1/2).
- Nghiệm dạng a ± bi hoặc căn (ví dụ i, −i, √2): phần tương ứng giữ nguyên là tam thức bậc hai như (x² + 1), (x² − 2). Với chương trình THCS, dừng ở đó.
- Nhân tử chung: công cụ đưa ước chung của các hệ số và lũy thừa x ra ngoài trước, ví dụ 2x³ − 8x = 2x(x − 2)(x + 2), điều máy không tự làm.
Công thức / Cách làm
Công cụ dùng định lý nghiệm hữu tỉ và sơ đồ Horner, cùng thứ tự bạn làm trên giấy sau khi có nghiệm từ máy.
- Đưa nhân tử chung ra ngoài: ước chung lớn nhất của các hệ số và x^k nếu hệ số tự do bằng 0.
- Tìm nghiệm hữu tỉ p/q: p là ước của hệ số tự do, q là ước của hệ số bậc cao nhất; máy MENU A 2 làm bước này nhanh hơn thử tay.
- Chia Horner cho (x − p/q), được thương bậc thấp hơn; nếu q ≠ 1 thì nhân tử viết là (qx − p) và thương chia thêm cho q.
- Lặp lại với thương cho đến khi bậc còn 2 mà Δ < 0 hoặc Δ không chính phương: phần này giữ nguyên, đa thức đã phân tích xong trên ℚ.
| Máy hiện | Nhân tử | Ví dụ |
|---|---|---|
| x = 3 | (x − 3) | 2x² − 7x + 3 = (2x − 1)(x − 3) |
| x = 1/2 | (2x − 1) | 2x² − 7x + 3 = (2x − 1)(x − 3) |
| x = i, x = −i | (x² + 1) giữ nguyên | x⁴ − 1 = (x − 1)(x + 1)(x² + 1) |
| Δ < 0, không nghiệm hữu tỉ | giữ nguyên tam thức | x² + x + 1 không phân tích được |
Công cụ chỉ nhận hệ số nguyên và bậc ≤ 4 vì MENU A 2 của máy cũng dừng ở bậc 4; hệ số thập phân bạn quy đồng trước rồi nhập.
Ví dụ
Ba ví dụ dưới đây lấy từ bộ case kiểm thử của công cụ; nghiệm máy hiện đúng với chuỗi phím MENU A 2.
| Đề bài | Nhập | Kết quả |
|---|---|---|
| Phân tích x³ − 6x² + 11x − 6 | Hệ số 1, −6, 11, −6 | P(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3) |
| Phân tích 2x² − 7x + 3 | Hệ số 2, −7, 3 | P(x) = (2x − 1)(x − 3) |
| Phân tích x⁴ − 1 | Hệ số 1, 0, 0, 0, −1 | P(x) = (x − 1)(x + 1)(x² + 1) |
Ví dụ 1: Máy MENU A 2 3 hiện x₁ = 3, bấm = thấy x₂ = 2, bấm = thấy x₃ = 1. Ba nghiệm nguyên nên ba nhân tử bậc nhất, hệ số cao nhất bằng 1 không cần thêm số ngoài.
Ví dụ 2: Máy MENU A 2 2 hiện x₁ = 3 rồi x₂ = 1/2. Nghiệm 1/2 cho nhân tử (2x − 1); nhân ra sẽ đúng hệ số 2 ở đầu, nên không viết 2(x − 1/2)(x − 3) trong bài thi.
Ví dụ 3: Phải nhập ba hệ số 0 cho x³, x², x. Máy MENU A 2 4 hiện 1, −1 rồi hai nghiệm i và −i; hai nghiệm phức ghép thành (x² + 1) không phân tích tiếp trên ℝ.
Lỗi thường gặp khi bấm
Lỗi ở dạng này nằm ở khâu nhập hệ số và cách đổi nghiệm thành nhân tử, không phải ở phép giải của máy.
- Bỏ qua hệ số 0 của bậc bị khuyết: x⁴ − 1 nhập thành 1, −1 thì máy hiểu là x − 1. Công cụ và máy đều cần đủ hệ số theo từng bậc.
- Máy hiện nghiệm thập phân 0.333333333 mà ghi nhân tử (x − 0.33): bấm S⇔D để thấy 1/3, nhân tử đúng là (3x − 1).
- Thấy nghiệm có chữ i (như x = i) rồi viết (x − i)(x + i): ở THCS và THPT phải giữ (x² + 1) vì không phân tích trên ℝ.
- Nhập hệ số thập phân như 0.5, −1.5: công cụ báo hệ số phải là số nguyên. Nhân cả đa thức với 2 rồi nhớ chia lại ở kết quả.
- Chọn nhầm 1 Simul Equation thay vì 2 Polynomial: màn hình hiện a₁x + b₁y = c₁. Bấm AC rồi vào lại MENU A 2.
Gặp thông báo lỗi khác, tra nhanh tại bảng lỗi máy tính Casio và cách sửa.
Công cụ liên quan
Các công cụ sau dùng chung nghiệm từ MENU A với công cụ này, giúp bạn kiểm tra hoặc đi tiếp bước chia đa thức.
- Chia đa thức – sơ đồ Horner — xem sơ đồ Horner từng bước khi chia P(x) cho nhân tử vừa tìm
- Giải phương trình bậc 2 bằng Casio — giải tam thức bậc hai kèm Δ để biết có phân tích được trên ℚ hay không
- Giải phương trình bậc 3 bằng Casio — lấy ba nghiệm của đa thức bậc 3 với đầy đủ dạng đúng phân số, căn
- Tính hệ thức Vi-ét và biểu thức đối xứng — đối chiếu tổng và tích nghiệm với hệ số trước khi viết nhân tử
- Hub Phương trình & đại số — toàn bộ công cụ cùng nhóm, lọc theo lớp
Câu hỏi thường gặp
Máy Casio fx-580VN X có phân tích đa thức thành nhân tử trực tiếp không?
Không. Máy chỉ giải phương trình đa thức bậc 2 đến 4 trong MENU A 2 và hiện nghiệm. Bạn đổi mỗi nghiệm hữu tỉ p/q thành nhân tử (qx − p) rồi nhân lại để kiểm tra; công cụ trên trang làm sẵn bước này và ghi rõ phần không phân tích được như x² + 1.
Đa thức bậc 5 trở lên thì làm thế nào?
MENU A 2 chỉ đến bậc 4 nên công cụ cũng dừng ở bậc 4. Với bậc cao hơn, bạn thử nghiệm nguyên là ước của hệ số tự do bằng CALC, chia Horner để hạ bậc xuống 4, rồi nhập thương vào công cụ. Cách này đúng với đề HSG máy tính cầm tay THCS.
Vì sao công cụ ghi x² + x + 1 không phân tích được trong khi máy vẫn hiện nghiệm?
Máy hiện hai nghiệm phức −1/2 ± (√3/2)i vì Δ = −3 < 0. Chương trình phổ thông chỉ phân tích trên tập số thực, nên tam thức có Δ âm được giữ nguyên. Công cụ báo rõ trường hợp này để bạn không viết nhân tử chứa i vào bài.
Nghiệm máy hiện 0.5 thì nhân tử là (x − 0.5) hay (2x − 1)?
Viết (2x − 1). Hai cách tương đương về nghiệm nhưng (2x − 1)(x − 3) nhân ra đúng 2x² − 7x + 3, còn (x − 0.5)(x − 3) thiếu hệ số 2. Bấm S⇔D để máy hiện 1/2, mẫu số chính là hệ số của x trong nhân tử.
Công cụ có dùng cho đa thức hai biến như x² − y² không?
Không. Công cụ và MENU A chỉ nhận đa thức một biến với hệ số bằng số. Với x² − y² hay x² − 2xy + y², bạn dùng hằng đẳng thức đáng nhớ trong SGK Toán 8; nếu coi y là hằng số cụ thể để kiểm tra nhanh, thay một giá trị y rồi nhập hệ số bằng số.
Kết quả trên máy mô phỏng của website có giống máy thật không?
Công cụ và máy mô phỏng dùng chung bộ tính toán với máy thật ở 10 chữ số hiển thị. Chuỗi phím MENU A 2 đối chiếu với hướng dẫn sử dụng của Casio; thứ tự nghiệm máy hiện có thể khác thứ tự nhân tử công cụ ghi, nhưng tích là một. Thấy khác trên máy bạn, hãy báo qua trang liên hệ.
Căn cứ / Nguồn
- Hướng dẫn sử dụng fx-580VN X (Casio), mục “Equation/Func” – “Polynomial”: nhập hệ số đa thức bậc 2–4 và đọc nghiệm.
- SGK Toán 8 (Kết nối tri thức, tập 1), chương Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng, bài Phân tích đa thức thành nhân tử: đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử, dùng hằng đẳng thức.
- SGK Toán 9 (Kết nối tri thức, tập 2), chương Phương trình bậc hai một ẩn: định lý Vi-ét và phân tích ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).
Chuỗi phím viết theo bố cục fx-580VN X; các mục đánh dấu “đang kiểm chứng” sẽ được xác nhận trên máy thật trước khi gỡ nhãn. Cập nhật: 21/09/2026.