- 1xx^■3▶−2xx²+3x−4Nhập P(x) = x³−2x²+3x−4
- 2CALC1=CALC với x = 1 → P(1) = −2 = số dư (Bézout)
Công cụ này chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b, vẽ sơ đồ Horner từng dòng, cho thương Q(x) và số dư, đồng thời hiện chuỗi phím CALC trên máy Casio fx-580VN X để bạn lấy số dư P(−b/a) trong vài giây. Dùng cho học sinh lớp 8 học chia đa thức và lớp 9 ôn thi vào 10.
Trong bài thi, dạng này xuất hiện khi tìm dư của phép chia, chứng minh chia hết, hoặc hạ bậc phương trình bậc 3, bậc 4 sau khi đoán được một nghiệm. Máy không có phím chia đa thức, nhưng CALC cho số dư còn Horner cho thương, và công cụ gộp cả hai.
Cách bấm trên Casio fx-580VN X
Trên fx-580VN X, bạn nhập P(x) ở màn hình Calculate bằng phím x, bấm CALC, máy hỏi x? thì nhập α = −b/a rồi bấm =; giá trị hiện ra chính là số dư theo định lý Bézout.
- x x^■ nhập 3 ▶ − nhập 2 x x² + nhập 3 x − nhập 4 — Nhập P(x) = x³−2x²+3x−4
- CALC nhập 1 = — CALC với x = 1 → P(1) = −2 = số dư (Bézout)
Kết quả mong đợi trên máy: P(1) = −2.
Trên fx-880BTG
Trên fx-880BTG, bạn nhập P(x) trong app Calculate rồi bấm EXE, máy hỏi giá trị của x; nhập α và bấm EXE. Chuỗi phím riêng cho 880BTG đang được bổ sung và kiểm chứng trên máy thật.
Cách đọc kết quả máy hiện
Máy chỉ hiện một số là P(α); số đó là dư của phép chia, còn thương bạn đọc từ hàng cuối sơ đồ Horner trên công cụ.
- Dư: giá trị P(α) máy hiện sau khi CALC. Dư bằng 0 nghĩa là P(x) chia hết cho ax + b, tức ax + b là một nhân tử.
- Thương Q(x): các số ở hàng cộng dọc trừ số cuối. Nếu chia cho ax + b với a ≠ 1, công cụ đã chia thương cho a; chia cho x − α thì giữ nguyên.
- Bảng Horner trên công cụ có ba hàng: hệ số P(x), tích α nhân số vừa tính, và hàng cộng dọc. Cột cuối hàng ba là dư.
- Kết luận: công cụ viết P(x) = (ax + b)·Q(x) + dư để bạn chép vào bài; đây là dạng trình bày SGK yêu cầu.
Công thức / Cách làm
Sơ đồ Horner là phép chia P(x) cho x − α bằng nhân rồi cộng liên tiếp; định lý Bézout cho biết dư bằng P(α).
- Tính α = −b/a. Chia cho x − 1 thì α = 1; chia cho x + 1 thì α = −1; chia cho 2x − 1 thì α = 1/2.
- Viết hệ số P(x) từ bậc cao xuống thấp, đủ cả hệ số 0. Hạ hệ số đầu xuống hàng cuối.
- Mỗi cột tiếp theo: nhân số vừa được với α, cộng với hệ số trên đầu cột, ghi xuống hàng cuối.
- Số cuối cùng là dư r = P(α); các số trước là hệ số của thương. Nếu chia cho ax + b, chia các hệ số thương cho a: P(x) = (ax + b)·Q(x) + r.
| Bước | Hệ số P(x) | α · số dưới | Cộng dọc |
|---|---|---|---|
| hạ hệ số đầu | 1 | 1 | |
| cột 2 | −2 | 1 · 1 = 1 | −1 |
| cột 3 | 3 | 1 · (−1) = −1 | 2 |
| cột 4 | −4 | 1 · 2 = 2 | −2 = dư |
Với hệ số nguyên, mọi phép tính trong Horner là số nguyên nên máy và công cụ đều cho số dư chính xác, không có sai số làm tròn.
Ví dụ
Hai ví dụ đầu lấy từ bộ case kiểm thử của công cụ, ví dụ ba là chip có sẵn trên công cụ với a ≠ 1.
| Đề bài | Nhập | Kết quả |
|---|---|---|
| Chia x³ − 2x² + 3x − 4 cho x − 1 | Hệ số 1, −2, 3, −4; a = 1, b = −1 | Thương x² − x + 2, dư −2; P(1) = −2 |
| Chia 2x³ + 3x² − 1 cho x + 1 | Hệ số 2, 3, 0, −1; a = 1, b = 1 | Thương 2x² + x − 1, dư 0; chia hết |
| Chia 6x² − 7x + 2 cho 2x − 1 | Hệ số 6, −7, 2; a = 2, b = −1 | Thương 3x − 2, dư 0 |
Ví dụ 1: Trên máy nhập x³ − 2x² + 3x − 4, bấm CALC, nhập 1, bấm = thấy −2. Đó là dư. Hàng cộng dọc 1, −1, 2, −2 cho thương x² − x + 2, phép chia không hết.
Ví dụ 2: Nhớ nhập hệ số 0 của x. CALC với x = −1 máy hiện 0, nên x + 1 là nhân tử: 2x³ + 3x² − 1 = (x + 1)(2x² + x − 1).
Ví dụ 3: α = 1/2, hàng cộng dọc 6, −4, 0. Vì chia cho 2x − 1 nên thương 6x − 4 phải chia cho 2 thành 3x − 2. CALC với x = 0.5 máy hiện 0.
Lỗi thường gặp khi bấm
Sai ở dạng này thường do nhập thiếu hệ số 0, lấy sai dấu α hoặc quên chia thương cho a.
- Quên hệ số 0 của bậc khuyết: 2x³ + 3x² − 1 nhập 2, 3, −1 thì công cụ hiểu là 2x² + 3x − 1. Máy CALC không báo lỗi, chỉ cho số sai.
- Chia cho x + 1 mà CALC với x = 1: dư sai dấu bài toán. α luôn là −b/a, tức chia cho x + 1 thì α = −1.
- Chia cho 2x − 1 nhưng giữ thương 6x − 4: nhân lại ra 12x² − 14x + 4, gấp đôi P(x). Phải chia thương cho a = 2.
- Nhập x bằng phím × (nhân) thay vì phím x: máy báo Syntax ERROR hoặc CALC không hỏi x?. Biến x nằm ở phím riêng hàng trên cùng.
- Bấm = thay vì CALC sau khi nhập P(x): máy tính với giá trị x cũ đang lưu trong bộ nhớ, kết quả không liên quan đến α.
Gặp thông báo lỗi khác, tra nhanh tại bảng lỗi máy tính Casio và cách sửa.
Công cụ liên quan
Sau khi có thương và dư, các công cụ sau giúp bạn phân tích tiếp hoặc giải phương trình từ thương.
- Phân tích đa thức thành nhân tử — phân tích trọn vẹn P(x) thành nhân tử sau khi biết một nhân tử ax + b
- Giải phương trình bậc 2 bằng Casio — giải thương bậc hai để lấy các nghiệm còn lại của P(x) = 0
- Giải phương trình bậc 3 bằng Casio — kiểm tra nghiệm đa thức bậc 3 bằng MENU A trước khi chia Horner
- Kiểm tra đáp án trắc nghiệm bằng CALC — thử nhanh nhiều giá trị x để tìm α làm P(α) = 0
- Hub Phương trình & đại số — toàn bộ công cụ cùng nhóm, lọc theo lớp
Câu hỏi thường gặp
Máy Casio fx-580VN X có chia đa thức trực tiếp không?
Không có phím chia đa thức. Máy cho số dư qua CALC nhờ định lý Bézout: dư của P(x) chia cho x − α bằng P(α). Thương thì bạn làm sơ đồ Horner trên giấy hoặc dùng công cụ này, vốn hiện đủ ba hàng của sơ đồ và kết luận P(x) = (ax + b)·Q(x) + r.
Sơ đồ Horner có dùng được khi chia cho x² + 1 không?
Không trực tiếp. Horner chỉ chia cho nhị thức bậc nhất x − α. Với số chia bậc hai không có nghiệm thực như x² + 1, bạn đặt phép chia cột dọc theo SGK Toán 8, hoặc chia lần lượt cho hai nhân tử bậc nhất khi số chia phân tích được, ví dụ x² − 1 = (x − 1)(x + 1).
Số dư máy hiện là phân số thì đọc thế nào?
Dư là một số, có thể là phân số khi α không nguyên. Ví dụ chia cho 3x − 1 thì α = 1/3 và P(1/3) thường là phân số; máy hiện dạng đúng như 5/27, bấm S⇔D để xem thập phân. Công cụ ghi dư cả hai dạng để bạn chọn đúng cách trình bày đề yêu cầu.
Chia cho ax + b thì thương lấy ở hàng nào?
Vẫn lấy hàng cộng dọc như chia cho x − α, nhưng phải chia từng hệ số cho a. Ví dụ 6x² − 7x + 2 chia cho 2x − 1 cho hàng 6, −4, 0; thương là (6x − 4)/2 = 3x − 2, dư 0. Công cụ đã chia sẵn và ghi rõ trong bảng để bạn không nhân đôi kết quả.
Làm sao dùng công cụ để hạ bậc phương trình bậc 3?
Đoán một nghiệm nguyên là ước của hệ số tự do, kiểm tra bằng CALC cho P(α) = 0, rồi nhập vào công cụ với a = 1, b = −α. Thương bậc hai nhận được đem giải tiếp bằng công cụ phương trình bậc 2 hoặc MENU A 2 2; hai nghiệm đó cộng với α là đủ ba nghiệm.
Kết quả trên máy mô phỏng của website có giống máy thật không?
Có. Công cụ và máy mô phỏng dùng chung bộ tính toán, số dư P(α) hiện đúng 10 chữ số như máy thật. Chuỗi phím CALC được đối chiếu với hướng dẫn sử dụng của Casio; nếu máy của bạn hiện khác, hãy báo qua trang liên hệ để chúng tôi kiểm tra lại.
Căn cứ / Nguồn
- Hướng dẫn sử dụng fx-580VN X (Casio), mục “CALC” (tính giá trị biểu thức chứa biến): gán giá trị x và tính lại biểu thức.
- SGK Toán 8 (Kết nối tri thức, tập 1), chương Đa thức, bài Phép chia đa thức cho đơn thức và đa thức: phép chia có dư, đẳng thức P(x) = Q(x)·B(x) + R(x).
- SGK Toán 9 (Cánh Diều, tập 2), chương Phương trình bậc hai một ẩn: hạ bậc phương trình bằng cách tách nhân tử.
Chuỗi phím viết theo bố cục fx-580VN X; các mục đánh dấu “đang kiểm chứng” sẽ được xác nhận trên máy thật trước khi gỡ nhãn. Cập nhật: 21/09/2026.