Tìm cực trị hàm số bằng Casio fx-580VN X: bảng biến thiên, CĐ, CT

Công cụ này nhận f(x) là đa thức bậc ≤ 4 hoặc hàm bất kỳ, tính f′(x), giải f′(x) = 0, lập bảng biến thiên rồi kết luận cực đại, cực tiểu và khoảng đơn điệu. Dùng cho học sinh lớp 12 và giáo viên soạn đề.

Trong đề thi tốt nghiệp THPT từ 2025, cực trị và đơn điệu xuất hiện dày nhất ở Phần II (đúng/sai, 4 ý mỗi câu), mỗi ý cần một phép tính thật: nghiệm f′ = 0, dấu f′ từng khoảng, giá trị f tại điểm cực trị. Công cụ hiện đúng chuỗi phím MENU A 2 2 hoặc MENU 9 với d/dx.

Cách bấm trên Casio fx-580VN X

Trên fx-580VN X có hai đường đi. Nếu f′ là đa thức bậc 2–3, vào MENU A mục 2 Polynomial để giải f′ = 0; với f bất kỳ, vào MENU 9, nhập f(x) = d/dx(f(x))|x=x. Phím d/dx là SHIFT ∫.

1. MENU ALPHA A 2 2 nhập 3 = nhập 0 = nhập −3 = — Giải f′(x) = 3x² − 3 = 0 → x = ±1
2. MENU 9 SHIFT ∫ x x^■ nhập 3 ▶ − nhập 3 x + nhập 1 ▶ x = nhập −2 = nhập 2 = nhập 0.5 = — TABLE với f(x) = d/dx(…) để xem dấu f′ đổi qua ±1

Kết quả mong đợi trên máy: x = ±1.

Trên fx-880BTG

Trên fx-880BTG: HOME → app Equation → Polynomial để giải f′ = 0, hoặc HOME → app Table, nhập d/dx qua CATALOG rồi EXE; chuỗi phím này đang được bổ sung.

Cách đọc kết quả máy hiện

Công cụ hiện điểm cực trị, bảng biến thiên (x, f′(x), f(x)) và khoảng đơn điệu; trên máy bạn đọc nghiệm ở MENU A, dấu f′ ở cột f(x) của TABLE.

• Cực đại tại x = x₀: f′ đổi dấu + sang −; số sau dấu bằng là y_CĐ, không phải x.
• Cực tiểu tại x = x₀: f′ đổi dấu − sang +. Nếu f′ = 0 nhưng không đổi dấu, điểm đó chỉ là điểm dừng.
• Bảng biến thiên: hàng f′(x) ghi +, 0, −; hàng f(x) ghi ↗ hoặc ↘. Muốn −∞, +∞ thì để trống ô khoảng.
• Trên TABLE của máy: cột f(x) là giá trị f′; dấu đổi giữa hai dòng là có cực trị nằm giữa; dòng f(x) = 0 là nghiệm của f′.
• Giá trị dạng đúng: khi y_CĐ, y_CT là phân số hay căn, công cụ hiện thêm dạng đúng.

Công thức / Cách làm

Công cụ làm đúng quy trình SGK Toán 12: tính f′, tìm nghiệm f′ = 0, xét dấu f′ rồi kết luận.

1. Nhận dạng f: đa thức bậc ≤ 4 thì công cụ ghi rõ f′(x) dạng ký hiệu (x³ − 3x + 1 → f′(x) = 3x² − 3); hàm khác tính f′ bằng sai phân số như phím d/dx.
2. Giải f′(x) = 0: đa thức dùng công thức nghiệm (Durand–Kerner cho bậc 3); hàm bất kỳ quét 400 điểm rồi tinh chỉnh bằng Newton.
3. Xét dấu f′ tại điểm giữa mỗi khoảng con: + là đồng biến, − là nghịch biến; đây là việc bạn làm bằng TABLE với Start, End, Step tự chọn.
4. Kết luận: f′ đổi + → − tại x₀ ⇒ cực đại; đổi − → + ⇒ cực tiểu; không đổi dấu ⇒ không phải cực trị.
5. Tính f(x₀) với 10 chữ số, thử đưa về phân số, căn, bội của e.

f(x)	f′(x)	Nghiệm f′ = 0	Kết luận
x³ − 3x + 1	3x² − 3	x = ±1	CĐ (−1; 3), CT (1; −1)
x⁴ − 2x²	4x³ − 4x	x = −1; 0; 1	CT (±1; −1), CĐ (0; 0)
x³	3x²	x = 0	không có cực trị
x·eˣ	eˣ(x + 1)	x = −1	CT (−1; −1/e)

Với hàm có mẫu số (ví dụ (x² + 1)/(x − 1)), công cụ có thể liệt kê thêm điểm gần x = 1; bạn tự loại điểm không thuộc tập xác định.

Ví dụ

Ba ví dụ dưới đây lấy từ case kiểm thử của công cụ; số liệu khớp kết quả bấm trên máy.

Đề bài	Nhập	Kết quả
Tìm cực trị và khoảng đơn điệu của f(x) = x³ − 3x + 1	f(x) = x^3-3x+1, xét trên khoảng từ −10 đến 10	f′(x) = 3x² − 3; cực đại tại x = −1, f = 3; cực tiểu tại x = 1, f = −1; đồng biến (−10; −1) ∪ (1; 10), nghịch biến (−1; 1)
Tìm cực trị của f(x) = x⁴ − 2x²	f(x) = x^4-2x^2, khoảng −10 đến 10	f′(x) = 4x³ − 4x; cực tiểu tại x = −1 và x = 1 (f = −1), cực đại tại x = 0 (f = 0); đồng biến (−1; 0) ∪ (1; 10)
Tìm cực trị của f(x) = x·eˣ	f(x) = x*e^x, khoảng −10 đến 10	Cực tiểu tại x = −1, f = −1/e ≈ −0,3678794412; nghịch biến (−10; −1), đồng biến (−1; 10)

Ví dụ 1: MENU A 2 2 với a = 3, b = 0, c = −3 cho x₁ = 1, x₂ = −1; MENU 9 với d/dx(x³ − 3x + 1)|x=x đổi dấu qua −1 và 1.

Ví dụ 2: Chọn MENU A 2 3 với hệ số 4, 0, −4, 0; máy hiện x₁ = 1, x₂ = 0, x₃ = −1, cả ba đều là cực trị vì f′ đổi dấu qua từng điểm.

Ví dụ 3: f′ = eˣ(x + 1) không phải đa thức nên công cụ giải bằng số, ra x = −1. MENU 9 với d/dx(x·eˣ)|x=x cho f′ âm rồi dương quanh −1; −0.3678794412 là f(−1).

Lỗi thường gặp khi bấm

Sai sót ở dạng này thường do nhập nhầm f thay vì f′ vào MENU A, hoặc đọc nhầm cột giá trị TABLE.

• Nhập hệ số của f (1, 0, −3, 1) vào MENU A 2 3 rồi coi nghiệm là điểm cực trị: đó là nghiệm f(x) = 0, không phải f′ = 0. Phải tự đạo hàm rồi mới nhập hệ số f′ (3, 0, −3).
• Trong MENU 9 quên bọc d/dx: nhập thẳng x³ − 3x + 1 thì cột f(x) là giá trị hàm, không phải dấu f′. Bấm SHIFT ∫ trước.
• Để Step quá thô (Step 1 khi cực trị ở x = 0,5): bảng bỏ qua điểm đổi dấu. Chọn Step 0.25–0.5 quanh nghiệm đã tìm.
• Ghi đáp án cực trị là x thay vì y: giá trị cực đại hỏi y_CĐ = f(x₀), còn điểm cực đại là x₀.
• Kết luận cực trị khi f′ = 0 nhưng không đổi dấu (x³ tại 0): TABLE cho f′ ≥ 0 hai phía nên không có cực trị.

Gặp thông báo lỗi khác, tra nhanh tại bảng lỗi máy tính Casio và cách sửa.

Công cụ liên quan

Các công cụ sau dùng cùng d/dx và MENU 9 để giải tiếp các ý còn lại của một câu Phần II.

• Tính đạo hàm tại một điểm bằng Casio — tính f′(x₀) tại một điểm để kiểm tra ý hỏi hệ số góc tiếp tuyến
• Tìm GTLN – GTNN trên đoạn bằng TABLE — tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của f trên đoạn [a; b]
• Lập bảng giá trị TABLE f(x), g(x) — tự lập bảng giá trị Start, End, Step tùy ý để xét dấu f′ chi tiết hơn
• Giải phương trình bậc 3 bằng Casio — giải f′ = 0 khi f bậc 4, f′ bậc 3, cùng menu MENU A 2 3
• Tính tích phân xác định bằng Casio — tính tích phân của f trên đoạn giữa hai điểm cực trị
• Hub Giải tích — toàn bộ công cụ cùng nhóm, lọc theo lớp

Câu hỏi thường gặp

Máy Casio fx-580VN X có tìm trực tiếp cực trị của hàm số không?

Không. Máy không có chức năng cực trị; bạn tự đạo hàm rồi dùng MENU A giải f′ = 0 hoặc MENU 9 lập bảng dấu f′ qua d/dx. Công cụ gộp cả hai bước và hiện bảng biến thiên hoàn chỉnh.

Vì sao công cụ ghi khoảng đồng biến là (1; 10) chứ không phải (1; +∞)?

Vì mặc định công cụ xét trên đoạn −10 đến 10 để tính bằng số; nếu đa thức không còn điểm dừng ngoài đoạn này, bạn thay 10 bằng +∞ khi ghi đáp án, hoặc để trống hai ô khoảng để công cụ tự ghi −∞, +∞.

Dùng d/dx trong MENU 9 thì bảng có chậm không?

Có, mỗi dòng máy phải tính một đạo hàm số nên bảng 30 giá trị mất vài giây. Để rút ngắn, chọn Start, End sát nghiệm f′ đã tìm ở MENU A, Step 0.5. Công cụ trên trang tính tức thì vì chạy trên trình duyệt.

Với hàm phân thức như (x² + 1)/(x − 1) công cụ có xử lý tiệm cận không?

Chỉ một phần. Công cụ tìm được hai điểm dừng 1 ± √2 (≈ −0,4142135624 và 2,414213562), nhưng có thể liệt kê thêm điểm gần x = 1 do đạo hàm số quanh điểm gián đoạn; bạn tự loại điểm này và ghi thêm tiệm cận đứng x = 1.

Câu Phần II hỏi hàm số có đúng hai điểm cực trị, kiểm tra thế nào cho chắc?

Giải f′ = 0 ở MENU A và đếm nghiệm thực, rồi kiểm tra dấu f′ hai bên mỗi nghiệm bằng TABLE. Nghiệm kép như x = 0 của 3x² không cho cực trị nên số nghiệm và số cực trị có thể khác nhau, và công cụ ghi rõ điều đó.

Có cần đổi máy sang radian khi f chứa sin, cos hay eˣ không?

Có với hàm lượng giác. Công cụ luôn tính theo radian như SGK; trên máy bấm SHIFT MENU 2 2 để chọn Radian trước khi vào MENU 9, nếu không cột f′ sẽ sai. Với eˣ, ln x hoặc đa thức thì không cần đổi.

Kết quả trên công cụ có trùng máy thật đến chữ số cuối không?

Với đa thức, nghiệm f′ = 0 và giá trị cực trị trùng hoàn toàn vì cùng công thức nghiệm và cùng 10 chữ số hiển thị. Với hàm bất kỳ, f′ trong bảng có thể lệch ở chữ số thứ 9–10, nhưng dấu f′ và vị trí cực trị không đổi.

Căn cứ / Nguồn

• Hướng dẫn sử dụng fx-580VN X (Casio), mục “Tính toán vi phân” (d/dx) và mục “Table”: cách nhập f(x) = d/dx(…), Start, End, Step; mục “Equation/Func” – “Polynomial” để giải f′ = 0.
• SGK Toán 12 (Kết nối tri thức, tập 1), chương Ứng dụng đạo hàm, bài Tính đơn điệu và cực trị của hàm số: quy tắc xét dấu f′ và bảng biến thiên.
• SGK Toán 12 (Cánh Diều, tập 1), chương I, bài 1–2 Tính đơn điệu và Cực trị của hàm số.
• Quyết định 4068/QĐ-BGDĐT (28/11/2023): cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT từ 2025, Phần II gồm 4 câu đúng/sai, mỗi câu 4 ý.

Chuỗi phím viết theo bố cục fx-580VN X; các mục đánh dấu “đang kiểm chứng” sẽ được xác nhận trên máy thật trước khi gỡ nhãn. Cập nhật: 21/09/2026.