- 1∫xx²▶0▶3=∫₀³ x² dx: nhập biểu thức, ▶ sang cận dưới, ▶ sang cận trên → 9
Công cụ tính tích phân xác định ∫ f(x) dx từ a đến b ngay trên trình duyệt, nhận cận π, e, vô cực, trả về 10 chữ số như màn hình máy kèm dạng đúng và hiện chuỗi phím ∫ của Casio fx-580VN X. Dùng cho học sinh lớp 12, sinh viên năm nhất và giáo viên cần soát đáp án nhanh.
Trong đề thi tốt nghiệp THPT từ 2025, tích phân là dạng quen thuộc ở Phần III (trả lời ngắn): diện tích hình phẳng, quãng đường từ vận tốc, thể tích khối tròn xoay. Bạn phải bấm ra đúng con số cuối cùng và làm tròn theo yêu cầu đề, nên cách nhập cận và đơn vị góc quyết định điểm số.
Cách bấm trên Casio fx-580VN X
Trên fx-580VN X, bấm phím ∫ để mở khung tích phân có ô f(x), ô cận dưới và ô cận trên. Nhập f(x), bấm ▶ sang cận dưới, ▶ sang cận trên rồi bấm =.
- ∫ x x² ▶ nhập 0 ▶ nhập 3 = — ∫₀³ x² dx: nhập biểu thức, ▶ sang cận dưới, ▶ sang cận trên → 9
Kết quả mong đợi trên máy: 9. Chuỗi phím này đang được kiểm chứng trên máy thật.
Trên fx-880BTG
Trên fx-880BTG, từ HOME chọn app Calculate, bấm CATALOG, vào Func Analysis chọn ∫ rồi nhập f(x), hai cận và bấm EXE. Chuỗi phím 880BTG này đang được kiểm chứng trên máy thật.
- HOME chọn Calculate OK CATALOG chọn Func Analysis] chọn ∫ OK x x² ▶ nhập 0 ▶ nhập 3 EXE — Trên 880BTG lấy ∫ từ CATALOG
Cách đọc kết quả máy hiện
Máy hiện một số thập phân là giá trị xấp xỉ của tích phân với sai số nhỏ hơn 10 chữ số hiển thị; máy không hiện dạng ln, π hay phân số.
- Số nguyên gọn (9, 2, 1): tích phân đúng bằng giá trị đó; Gauss–Kronrod cho kết quả chính xác với đa thức và nhiều hàm cơ bản.
- Số lẻ 10 chữ số (1.718281828): bạn cần đoán dạng đúng, ví dụ e − 1. Công cụ tự nhận dạng phân số, căn, bội của π và ghi kèm ở dòng “Dạng đúng nhận dạng”.
- Kết quả lạ, nhỏ hơn dự đoán nhiều khi f có sin, cos: máy đang ở Degree. Ở Degree, ∫ sin x dx từ 0 đến π không ra 2.
- Time Out: tích phân không hội tụ, thường do f dao động mạnh hoặc có điểm kỳ dị trong đoạn. Math ERROR: f không xác định tại điểm máy lấy mẫu.
- Công cụ hiện thêm dòng “Giá trị 15 chữ số” và cảnh báo nếu f không xác định tại một số điểm thử trên đoạn.
Công thức / Cách làm
Máy không tìm nguyên hàm mà dùng cầu phương Gauss–Kronrod: lấy mẫu f tại các nút cố định trong đoạn, nhân trọng số rồi cộng lại.
- Chia [a; b] thành các đoạn con; trên mỗi đoạn tính đồng thời xấp xỉ Gauss 7 điểm và Kronrod 15 điểm, hiệu của chúng là ước lượng sai số.
- Đoạn nào có sai số lớn hơn ngưỡng thì chia đôi và tính lại (thích nghi); công cụ dùng ngưỡng 10⁻¹⁰ và tối đa 2000 đoạn (tham số tich_phan trong cấu hình).
- Cộng kết quả các đoạn, làm tròn về 10 chữ số có nghĩa như màn hình máy.
- Nhận dạng dạng đúng: so kết quả với phân số, căn, bội của π; không nhận ra thì giữ nguyên 10 chữ số thập phân.
- Với cận ∞, công cụ đổi biến về đoạn hữu hạn; máy thật không nhận ∞, bạn phải thay bằng số lớn như 10⁶ và chấp nhận xấp xỉ.
| Tích phân | Máy hiện | Dạng đúng | Ghi chú |
|---|---|---|---|
| ∫ x² dx từ 0 đến 3 | 9 | 9 | đa thức, chính xác tuyệt đối |
| ∫ sin x dx từ 0 đến π | 2 | 2 | phải ở Radian |
| ∫ 1/x dx từ 1 đến e | 1 | ln e = 1 | cận e nhập bằng ALPHA ×10ˣ |
| ∫ eˣ dx từ 0 đến 1 | 1.718281828 | e − 1 | máy không hiện e − 1 |
Máy tính 15 chữ số nội bộ và hiển thị 10; kết quả công cụ và máy trùng nhau ở 10 chữ số trong mọi case kiểm thử.
Ví dụ
Ba ví dụ dưới lấy từ bộ case kiểm thử; số ghi đúng như màn hình máy ở chế độ Radian.
| Đề bài | Nhập | Kết quả |
|---|---|---|
| Tính ∫ x² dx từ 0 đến 3 | f(x) = x^2, a = 0, b = 3 | ∫ = 9 |
| Tính ∫ sin x dx từ 0 đến π | f(x) = sin x, a = 0, b = π, đơn vị góc Radian | ∫ = 2 |
| Tính ∫ eˣ dx từ 0 đến 1 | f(x) = e^x, a = 0, b = 1 | ∫ = 1,718281828 (máy hiện 1.718281828), dạng đúng e − 1 |
Ví dụ 1: Bấm ∫, nhập x x², bấm ▶ nhập 0, bấm ▶ nhập 3 rồi =: máy hiện 9. Đối chiếu tay: x³/3 từ 0 đến 3 bằng 27/3 = 9, cũng là diện tích giữa parabol y = x², trục hoành và đường x = 3.
Ví dụ 2: Nguyên hàm −cos x cho −cos π + cos 0 = 2. Cận π nhập bằng SHIFT ×10ˣ. Nếu máy đang ở Degree, kết quả sẽ là một số nhỏ khác hẳn 2 vì máy hiểu sin theo độ; bấm SHIFT MENU 2 2 rồi tính lại.
Ví dụ 3: Máy chỉ hiện số thập phân, không hiện e − 1; nếu đề Phần III yêu cầu làm tròn đến hàng phần trăm, bạn ghi 1,72. Công cụ hiện thêm giá trị 15 chữ số để bạn thấy máy làm tròn ở đâu.
Lỗi thường gặp khi bấm
Tích phân sai trên máy gần như luôn do cận, đơn vị góc và biến, không phải do phương pháp.
- Để máy ở Degree khi f có sin, cos, tan: kết quả sai hoàn toàn mà máy không báo lỗi. Đặt Radian bằng SHIFT MENU 2 2 trước khi bấm ∫.
- Nhập nhầm thứ tự cận: ô dưới của khung ∫ là cận dưới a, ô trên là cận trên b. Đảo hai cận, máy vẫn chạy nhưng kết quả đổi dấu.
- Đoạn lấy tích phân chứa điểm f không xác định, ví dụ ∫ 1/x dx từ −1 đến 1: công cụ báo chia cho 0, máy có thể báo Math ERROR hoặc Time Out; tích phân này không tồn tại.
- Dùng biến khác x (như A, Y) trong f(x): máy coi là hằng số đang lưu và cho một số vô nghĩa. Trong khung ∫ chỉ dùng phím x.
- Lồng ∫, d/dx, Σ, Pol, Rec bên trong f(x): máy báo Syntax ERROR. Tính phần trong trước rồi lưu vào biến bằng STO.
Gặp thông báo lỗi khác, tra nhanh tại bảng lỗi máy tính Casio và cách sửa.
Công cụ liên quan
Tích phân thường là bước cuối của một bài dài; các công cụ sau lo các bước trước và sau nó.
- Kiểm tra nguyên hàm bằng Casio — kiểm tra nguyên hàm F(x) tìm được có đạo hàm đúng bằng f(x) hay không
- Tính diện tích hình phẳng và thể tích tròn xoay — diện tích giữa hai đồ thị f, g và thể tích khối tròn xoay, tự tìm giao điểm
- Tính đạo hàm tại một điểm bằng Casio — phép tính ngược, cùng khung nhập và cùng lưu ý về Radian
- Tính tổng Σ và tích Π bằng Casio — tổng hữu hạn Σ, dùng khi đề cho tổng Riemann hoặc dãy số
- Kiểm tra đáp án trắc nghiệm bằng CALC — tính f tại một điểm để kiểm tra hàm nhập đúng trước khi lấy tích phân
- Hub Giải tích — toàn bộ công cụ cùng nhóm, lọc theo lớp
Câu hỏi thường gặp
Máy Casio fx-580VN X có tính được tích phân với cận vô cực không?
Không trực tiếp. Khung ∫ chỉ nhận số hữu hạn; nhập ∞ máy báo lỗi. Bạn thay bằng số lớn như 10⁶ hoặc 10⁹ và chấp nhận xấp xỉ, hoặc đổi biến về đoạn hữu hạn. Công cụ trên trang nhận cận inf và tự đổi biến, nhưng lời giải trên giấy vẫn phải trình bày bằng giới hạn.
Vì sao ∫ sin x dx từ 0 đến π trên máy tôi không ra 2?
Máy đang ở Degree. Ở chế độ này máy tính sin của x độ, nên tích phân trên đoạn dài 3,14 độ chỉ ra một số nhỏ gần 0. Bấm SHIFT MENU 2 2 để về Radian rồi tính lại sẽ được 2. Mọi bài tích phân có hàm lượng giác trong chương trình phổ thông đều tính theo radian.
Kết quả 1.718281828 thì ghi đáp án Phần III thế nào?
Phần III yêu cầu số thập phân, thường làm tròn đến hàng phần trăm, nên bạn ghi 1,72. Không cần nhận ra e − 1 nếu đề không hỏi. Chỉ làm tròn ở bước cuối; nếu tích phân còn nhân với hệ số khác, dùng giá trị 10 chữ số hoặc Ans để tính tiếp rồi mới làm tròn.
Máy báo Time Out khi lấy tích phân thì làm gì?
Time Out nghĩa là cầu phương không hội tụ: hàm dao động rất nhanh, có điểm kỳ dị hoặc bạn nhập sai hàm. Kiểm tra lại f(x) và đơn vị góc, chia đoạn tích phân thành nhiều đoạn nhỏ rồi cộng lại, hoặc tách điểm kỳ dị ra làm cận. Nếu vẫn lỗi, tích phân có thể không tồn tại.
Tính diện tích hình phẳng thì phải nhập |f(x)| hay f(x)?
Diện tích là ∫ |f(x) − g(x)| dx nên bạn nhập trị tuyệt đối bằng hàm Abs khi đồ thị đổi dấu trong đoạn. Nếu chỉ nhập f(x) − g(x), phần âm triệt tiêu phần dương và diện tích bị thiếu. Công cụ tính diện tích hình phẳng trên trang đã tự tách dấu cho bạn.
Kết quả trên công cụ và trên máy thật có khác nhau không?
Cả hai cùng dùng Gauss–Kronrod và cùng làm tròn 10 chữ số hiển thị, nên trong mọi case kiểm thử kết quả trùng nhau. Chuỗi phím ∫ trên trang đã đối chiếu với hướng dẫn sử dụng của Casio nhưng vẫn đang được kiểm chứng trên máy thật; thấy khác, hãy báo qua trang liên hệ.
Căn cứ / Nguồn
- Hướng dẫn sử dụng fx-580VN X (Casio), mục “Tính toán tích phân”: cú pháp khung ∫, phương pháp Gauss–Kronrod, các hàm không được dùng trong f(x) và thông báo Time Out.
- SGK Toán 12 (Kết nối tri thức, tập 2), chương Nguyên hàm và tích phân: định nghĩa tích phân, công thức Newton–Leibniz, ứng dụng tính diện tích và thể tích.
- SGK Toán 12 (Cánh Diều, tập 2), bài Tích phân: tính chất và các ví dụ tích phân hàm lượng giác, mũ.
- Quyết định 4068/QĐ-BGDĐT (28/11/2023): cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT từ 2025, Phần III trả lời ngắn 6 câu.
Chuỗi phím viết theo bố cục fx-580VN X; các mục đánh dấu “đang kiểm chứng” sẽ được xác nhận trên máy thật trước khi gỡ nhãn. Cập nhật: 21/09/2026.