Tính vector bằng Casio fx-580VN X: tích vô hướng, có hướng, góc

Công cụ này tính tích vô hướng u·v, tích có hướng u×v, góc giữa hai vector, độ dài, diện tích tam giác và thể tích tứ diện từ tọa độ, kèm chuỗi phím MENU 5 (Vector) của máy Casio fx-580VN X. Dùng cho học sinh lớp 12 học vectơ và tọa độ trong không gian theo chương trình 2018; lớp 10 cũng dùng được cho vectơ trong mặt phẳng.

Trong đề thi tốt nghiệp THPT từ 2025, tọa độ không gian thường rơi vào Phần III: đề cho tọa độ điểm, hỏi thể tích, diện tích hoặc góc và yêu cầu bấm ra con số, không phải khai triển định thức bằng tay.

Cách bấm trên Casio fx-580VN X

Trên fx-580VN X, vào MENU 5 (Vector), bấm 1 Define Vector để nhập VctA rồi VctB với số chiều 2 hoặc 3, bấm AC về màn hình tính. Tích vô hướng nằm ở OPTN ▼ 2 (Dot Product), góc ở OPTN ▼ 3 (Angle).

1. MENU 5 1 1 3 nhập 1 = nhập 2 = nhập 3 = AC — Define VctA = (1, 2, 3)
2. OPTN 1 2 3 nhập 4 = nhập 5 = nhập 6 = AC — Define VctB = (4, 5, 6)
3. OPTN 3 × OPTN 4 = — VctA × VctB = (−3, 6, −3)
4. OPTN ▼ 2 OPTN 3 SHIFT ) OPTN 4 ) = — Dot(VctA, VctB) = 32

Kết quả mong đợi trên máy: (−3, 6, −3).

Trên fx-880BTG

Trên fx-880BTG vào HOME, chọn app Vector, định nghĩa VctA, VctB qua TOOLS, gọi hàm tích vô hướng, góc từ CATALOG, kết thúc bằng EXE. Chuỗi phím 880BTG đang được bổ sung.

Cách đọc kết quả máy hiện

Máy hiện tích có hướng dưới dạng vector VctAns ba thành phần, còn tích vô hướng, độ dài và góc hiện như một số bình thường.

• u·v: một số; bằng 0 nghĩa là u ⊥ v. Công cụ ghi thêm dòng “Quan hệ” cho biết hai vector vuông góc, cùng phương hay không.
• u×v: máy hiện VctAns dạng [−3 6 −3], công cụ viết (−3; 6; −3). Vector này vuông góc với cả u và v nên dùng làm vectơ pháp tuyến; bằng (0; 0; 0) thì u, v cùng phương.
• |u|, |v|, |u×v|: máy hiện thập phân (3.741657387), công cụ ghi thêm dạng đúng √14. |u×v| là diện tích hình bình hành, chia 2 được diện tích tam giác.
• Góc (u, v): công cụ hiện độ kèm radian; trên máy, Angle(VctA, VctB) hiện theo đơn vị góc đang cài, mặc định Degree.
• [u, v]·w (chỉ có khi bạn nhập w): giá trị tuyệt đối là thể tích hình hộp, chia 6 được thể tích tứ diện; bằng 0 thì ba vector đồng phẳng.

Công thức / Cách làm

Công cụ và máy dùng đúng công thức tọa độ trong SGK Toán 12, tính bằng số thực rồi nhận dạng độ dài về dạng căn.

1. Tích vô hướng: u·v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂. Với vector 2 chiều, công cụ tự đặt z = 0.
2. Tích có hướng: u×v = (y₁z₂ − z₁y₂; z₁x₂ − x₁z₂; x₁y₂ − y₁x₂). Máy chỉ tính khi cả hai vector đều 3 chiều; với vector 2 chiều, công cụ vẫn tính và cho thành phần thứ ba x₁y₂ − y₁x₂.
3. Độ dài và góc: |u| = √(x₁² + y₁² + z₁²); cos(u, v) = u·v / (|u|·|v|), lấy arccos rồi đổi ra độ.
4. Diện tích: S hình bình hành = |u×v|; S tam giác = |u×v|/2.
5. Tích hỗn tạp: [u, v]·w = (u×v)·w; V hình hộp = |[u, v]·w|; V tứ diện = |[u, v]·w|/6.

Đại lượng	Công thức	Trên máy (MENU 5)	u = (1; 2; 3), v = (4; 5; 6)
u·v	x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂	OPTN ▼ 2: Dot(VctA, VctB)	32
u×v	ba định thức cấp 2	VctA × VctB	[−3 6 −3]
|u|	√(x² + y² + z²)	Abs(VctA)	3.741657387 (= √14)
Góc (u, v)	arccos(u·v / (|u||v|))	OPTN ▼ 3: Angle(VctA, VctB)	12.93315449 (Degree)
V tứ diện	|[u, v]·w| / 6	Dot(VctA × VctB, VctC) ÷ 6	1/2 với w = (1; 0; 0)

Độ dài và góc làm tròn 10 chữ số như màn hình máy; công cụ chỉ ghi dạng √ khi bình phương độ dài là số nguyên.

Ví dụ

Ví dụ đầu là case kiểm thử, hai ví dụ sau lấy từ chip mẫu; bấm đúng chuỗi phím sẽ ra cùng số.

Đề bài	Nhập	Kết quả
Cho u = (1; 2; 3), v = (4; 5; 6), w = (1; 0; 0). Tính u·v, u×v, góc (u, v) và thể tích tứ diện dựng trên u, v, w.	u = 1; 2; 3 — v = 4; 5; 6 — w = 1; 0; 0	u·v = 32; u×v = (−3; 6; −3); góc = 12,93315449°; |u| = √14 ≈ 3,741657387; [u, v]·w = −3; V tứ diện = 1/2
Trong mặt phẳng cho u = (3; 4), v = (−4; 3). Xét quan hệ giữa u và v.	u = 3; 4 — v = −4; 3 (bỏ trống w)	u·v = 0; góc = 90°; |u| = |v| = 5; u×v = (0; 0; 25); diện tích tam giác 25/2 = 12,5
Cho u = (1; 2; 3), v = (2; 4; 6). Hai vector có cùng phương không?	u = 1; 2; 3 — v = 2; 4; 6	u×v = (0; 0; 0); góc = 0°; u·v = 28; |v| = 2√14 ≈ 7,483314774

Ví dụ 1: Trên máy, VctA × VctB hiện [−3 6 −3], Dot(VctA, VctB) hiện 32 và Angle(VctA, VctB) hiện 12.93315449. Tích hỗn tạp bằng −3, lấy giá trị tuyệt đối rồi chia 6 được 0.5; công cụ ghi 1/2, thể tích hình hộp là 3.

Ví dụ 2: Tích vô hướng bằng 0 nên công cụ ghi “u ⊥ v”. Trên máy chọn số chiều 2 khi Define Vector; Dot(VctA, VctB) hiện 0 và Angle hiện 90. Số 25 ở thành phần thứ ba chính là x₁y₂ − y₁x₂, tức diện tích hình bình hành.

Ví dụ 3: Tích có hướng bằng vector không nên u, v cùng phương (v = 2u). Máy hiện VctAns [0 0 0] và Angle(VctA, VctB) hiện 0. Đây cũng là cách kiểm tra ba điểm thẳng hàng khi đề cho tọa độ: lập AB, AC rồi xét AB × AC.

Lỗi thường gặp khi bấm

Sai sót ở MENU 5 chủ yếu do chọn nhầm số chiều và nhầm phép nhân × với tích vô hướng.

• Định nghĩa VctA 3 chiều nhưng VctB 2 chiều rồi bấm VctA × VctB: máy báo Dimension ERROR. Vào OPTN 1 định nghĩa lại để hai vector cùng số chiều.
• Bấm VctA × VctB với hai vector 2 chiều: máy cũng báo Dimension ERROR vì tích có hướng chỉ có trong không gian. Khai báo 3 chiều, nhập tọa độ z = 0.
• Dùng phím × để tính tích vô hướng: máy hiểu là tích có hướng và trả về vector. Tích vô hướng phải dùng Dot(VctA, VctB) ở OPTN ▼ 2.
• Nhập xong tọa độ VctB mà không bấm AC, gõ OPTN 3 ngay: máy vẫn ở màn hình nhập tọa độ nên không gọi được vector. Bấm AC rồi mới gọi VctA, VctB.
• Đọc Angle ra 0.2257261286 rồi ghi đơn vị độ: máy đang ở Radian. Bấm SHIFT MENU 2 1 để chọn Degree.

Gặp thông báo lỗi khác, tra nhanh tại bảng lỗi máy tính Casio và cách sửa.

Công cụ liên quan

Sau khi có u×v và độ dài, các công cụ sau giúp bạn viết phương trình mặt phẳng, tính khoảng cách và giải tam giác.

• Tính khoảng cách và phương trình trong Oxyz — viết mặt phẳng qua 3 điểm và tính khoảng cách, dùng chính vectơ pháp tuyến u×v vừa tìm
• Giải tam giác bằng Casio — tính cạnh, góc, diện tích tam giác khi đề cho độ dài thay vì tọa độ
• Đổi tọa độ Pol ↔ Rec — đổi (x; y) sang r∠θ để lấy nhanh độ dài và góc của vector 2 chiều
• Nhận dạng số thập phân thành √, π, phân số — đổi 3.741657387 về √14 khi máy chỉ hiện thập phân
• Tính ma trận: định thức, nghịch đảo, nhân, chuyển vị — tính tích hỗn tạp theo cách khác: định thức 3×3 lập từ ba vector
• Hub Hình học, vector, ma trận — toàn bộ công cụ cùng nhóm, lọc theo lớp

Câu hỏi thường gặp

Máy Casio fx-580VN X có tính được tích có hướng của hai vector không?

Có. Trong MENU 5, sau khi định nghĩa VctA và VctB cùng 3 chiều, bấm VctA × VctB rồi =, máy hiện VctAns là vector kết quả. Nếu hai vector chỉ có 2 chiều, máy báo Dimension ERROR; khai báo lại 3 chiều với tọa độ thứ ba bằng 0. Kết quả này là vectơ pháp tuyến dùng để viết phương trình mặt phẳng.

Vì sao bấm VctA × VctB lại ra vector chứ không ra một số?

Vì phím × đặt giữa hai vector là tích có hướng, kết quả luôn là vector. Muốn có tích vô hướng (một số), dùng hàm Dot: bấm OPTN ▼ 2, máy hiện Dot(, nhập VctA, dấu phẩy SHIFT ), nhập VctB, đóng ngoặc rồi bấm =. Công cụ hiện cả hai kết quả cạnh nhau để đối chiếu.

Làm sao lấy độ dài vector dạng căn như √14?

Trên máy, Abs(VctA) thường hiện thập phân 3.741657387. Để có dạng căn, bạn tính Dot(VctA, VctA) được 14 rồi tự viết √14, hoặc xem dòng |u| trên công cụ: ở đó ghi sẵn √14 ≈ 3,741657387. Bài tự luận nên ghi dạng căn; câu trả lời ngắn Phần III chỉ cần số thập phân làm tròn theo yêu cầu của đề.

Tính thể tích tứ diện ABCD bằng máy như thế nào?

Lập ba vector AB, AC, AD từ tọa độ, nhập vào VctA, VctB, VctC rồi tính Dot(VctA × VctB, VctC). Thể tích tứ diện bằng giá trị tuyệt đối của số đó chia 6. Công cụ trên trang làm sẵn bước này: nhập u = AB, v = AC, w = AD và đọc dòng “Thể tích tứ diện”. Nếu kết quả bằng 0, bốn điểm đồng phẳng.

Góc giữa hai vector trên máy hiện 0.2257 nghĩa là gì?

Máy đang ở đơn vị Radian nên Angle(VctA, VctB) trả về 0.2257261286 rad, tương đương 12.93315449°. Bấm SHIFT MENU 2 1 để chuyển về Degree rồi tính lại, hoặc nhân kết quả với 180/π. Công cụ trên trang hiện đồng thời độ và radian nên bạn không cần đổi cài đặt, chỉ cần chép đúng đơn vị đề hỏi.

Căn cứ / Nguồn

• Hướng dẫn sử dụng fx-580VN X (Casio), mục “Tính toán vectơ” (Vector): định nghĩa vector, tích có hướng, Dot Product, Angle, Abs.
• SGK Toán 12 (Kết nối tri thức, tập 1), chương II Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian: tọa độ, tích vô hướng, độ dài vectơ.
• SGK Toán 12 (Kết nối tri thức, tập 2), bài Phương trình mặt phẳng: tích có hướng của hai vectơ và vectơ pháp tuyến.
• Quyết định 4068/QĐ-BGDĐT (28/11/2023): cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT từ 2025, Phần III trả lời ngắn.

Chuỗi phím viết theo bố cục fx-580VN X; các mục đánh dấu “đang kiểm chứng” sẽ được xác nhận trên máy thật trước khi gỡ nhãn. Cập nhật: 21/09/2026.