- 1SHIFThyp2×1−2+2×3−1▶÷√2x²+1+2x²▶=|2·1 − 2 + 2·3 − 1| / √(2² + 1 + 2²) = 5/3 (Abs = SHIFT hyp, _verify)
Công cụ này tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, đến đường thẳng, viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm, góc giữa hai mặt phẳng và hình chiếu điểm trong không gian Oxyz, kèm chuỗi phím Abs và MENU 5 Vector trên Casio fx-580VN X. Dùng cho học sinh lớp 12 học chương phương pháp tọa độ trong không gian.
Trong đề thi tốt nghiệp THPT từ 2025 (theo QĐ 4068/QĐ-BGDĐT), dạng toán Oxyz thường nằm ở Phần III trả lời ngắn, đòi hỏi bạn bấm ra đúng con số cuối cùng thay vì chỉ chọn đáp án; công cụ này giúp bạn kiểm tra lại kết quả tính tay theo đúng dạng số đó.
Cách bấm trên Casio fx-580VN X
Trên fx-580VN X, khoảng cách d(M,(P)) bấm trực tiếp bằng Abs (SHIFT hyp) chia cho căn bậc hai của tổng bình phương hệ số mặt phẳng. Phép tích có hướng dùng MENU 5 (Vector): nhập VctA, VctB rồi bấm VctA×VctB.
- SHIFT hyp nhập 2 × nhập 1 − nhập 2 + nhập 2 × nhập 3 − nhập 1 ▶ ÷ √ nhập 2 x² + nhập 1 + nhập 2 x² ▶ = — |2·1 − 2 + 2·3 − 1| / √(2² + 1 + 2²) = 5/3 (Abs = SHIFT hyp, _verify)
Kết quả mong đợi trên máy: 5/3. Chuỗi phím này đang được kiểm chứng trên máy thật.
Trên fx-880BTG
Trên fx-880BTG, phép tính vector dùng app Vector qua HOME; chuỗi phím chi tiết cho Abs và tích có hướng trên máy này đang được bổ sung, bạn tạm dùng cách bấm trực tiếp theo công thức như trên fx-580VN X.
Cách đọc kết quả máy hiện
Máy và công cụ đều hiện kết quả ở dạng đúng trước (phân số, căn) rồi mới đổi sang thập phân.
- Khoảng cách d: hiện dạng phân số hoặc căn nếu rút gọn được, ví dụ 5/3 hoặc 3√2/2, bấm S⇔D để xem 10 chữ số thập phân.
- Phương trình mặt phẳng: viết theo dạng ax + by + cz + d = 0 với hệ số đã rút gọn về số nguyên nhỏ nhất có thể.
- Vectơ pháp tuyến n = [AB, AC]: hiện dưới dạng tọa độ (x; y; z), dùng để đọc trực tiếp hệ số a, b, c của mặt phẳng.
- Góc giữa hai mặt phẳng: luôn nằm trong khoảng 0° đến 90° vì công thức lấy trị tuyệt đối của tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến.
- Với bài hình chiếu, máy hiện tọa độ điểm H và điểm đối xứng M′ để bạn dùng tiếp cho các câu hỏi liên quan.
Công thức / Cách làm
Mỗi bài toán Oxyz trong công cụ dùng đúng công thức trong SGK, không rút gọn tắt.
- Khoảng cách từ M(x₀;y₀;z₀) đến (P): ax+by+cz+d=0 là d = |ax₀+by₀+cz₀+d| / √(a²+b²+c²).
- Khoảng cách từ M đến đường thẳng Δ qua A với vectơ chỉ phương u là d = |[AM, u]| / |u|, dùng tích có hướng.
- Mặt phẳng qua 3 điểm A, B, C có vectơ pháp tuyến n = [AB, AC]; phương trình là n·(x−x_A; y−y_A; z−z_A) = 0.
- Góc giữa hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến n₁, n₂ tính bằng cos φ = |n₁·n₂| / (|n₁|·|n₂|), sau đó lấy arccos.
- Hình chiếu H của M lên (P) là H = M + t·n với t = −(a·x₀+b·y₀+c·z₀+d)/(a²+b²+c²); điểm đối xứng M′ = 2H − M.
| Bài toán | Công thức chính | Dạng kết quả |
|---|---|---|
| d(M,(P)) | |ax₀+by₀+cz₀+d| / √(a²+b²+c²) | phân số hoặc căn |
| d(M,Δ) | |[AM,u]| / |u| | phân số hoặc căn |
| (P) qua 3 điểm | n = [AB,AC] | phương trình ax+by+cz+d=0 |
| Góc 2 mặt phẳng | cos φ = |n₁·n₂| / (|n₁||n₂|) | độ, 0°–90° |
Phím Abs (SHIFT hyp) cho giá trị tuyệt đối trong công thức khoảng cách hiện đang được kiểm chứng trên máy thật, bạn nên đối chiếu thêm sách hướng dẫn máy trước khi dạy lại thao tác này.
Ví dụ
Ba ví dụ dưới đây lấy từ bộ case kiểm thử của công cụ, số liệu khớp đúng kết quả máy hiện.
| Đề bài | Nhập | Kết quả |
|---|---|---|
| Tính d(M,(P)) với M(1;2;3), (P): 2x−y+2z−1=0 | bài toán d(M,(P)); M = 1; 2; 3; (P) = 2; -1; 2; -1 | d = 5/3 ≈ 1,666666667 |
| Viết phương trình mặt phẳng qua A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) | bài toán (P) qua 3 điểm; A=1;0;0; B=0;1;0; C=0;0;1 | x + y + z − 1 = 0 |
| Tính d(O, Δ) với Δ qua A(1;2;0), vectơ chỉ phương u=(1;0;1) | bài toán d(M,Δ); M=0;0;0; A=1;2;0; u=1;0;1 | d = 3√2/2 ≈ 2,121320344 |
Ví dụ 1: Tử số |2·1−2+2·3−1|=5, mẫu số √(2²+(−1)²+2²)=3 nên d=5/3; máy hiện dạng phân số trước, bấm S⇔D ra 1,666666667.
Ví dụ 2: AB=(−1;1;0), AC=(−1;0;1), tích có hướng n=(1;1;1); thay tọa độ A vào phương trình được x+y+z−1=0.
Ví dụ 3: AM=(−1;−2;0), [AM,u]=(−2;1;2), độ dài √9=3; |u|=√2 nên d=3/√2=3√2/2.
Lỗi thường gặp khi bấm
Lỗi phổ biến ở Oxyz là nhầm thứ tự tọa độ hoặc quên lấy trị tuyệt đối trong công thức khoảng cách.
- Quên dấu trị tuyệt đối ở tử số công thức d(M,(P)): nếu ax₀+by₀+cz₀+d âm, kết quả ra số âm là sai, phải lấy Abs trước khi chia.
- Nhầm vectơ pháp tuyến n với vectơ chỉ phương của đường thẳng: n dùng cho mặt phẳng, vectơ chỉ phương u dùng cho đường thẳng, không thay thế cho nhau.
- Tính tích có hướng sai thứ tự [AB, AC] thành [AC, AB]: kết quả đổi dấu toàn bộ, phương trình mặt phẳng tuy vẫn đúng về bản chất nhưng khác dấu hệ số.
- Nhập 4 hệ số mặt phẳng thiếu số d (hằng số tự do): công cụ báo lỗi thiếu dữ liệu vì (P) cần đúng 4 hệ số a; b; c; d.
- Kết luận góc giữa hai mặt phẳng có thể tù (trên 90°): công thức luôn lấy trị tuyệt đối tích vô hướng nên góc chỉ nằm trong 0°–90°, không có góc tù.
Gặp thông báo lỗi khác, tra nhanh tại bảng lỗi máy tính Casio và cách sửa.
Công cụ liên quan
Các công cụ sau cùng thuộc mảng hình học – vectơ, hỗ trợ tính toán trung gian cho bài Oxyz.
- Tính vector: độ dài, tích vô hướng, tích có hướng, góc — tính độ dài, tích vô hướng, tích có hướng của vectơ trong mặt phẳng trước khi mở rộng lên Oxyz
- Tính ma trận: định thức, nghịch đảo, nhân, chuyển vị — tính định thức khi cần xét vị trí tương đối của nhiều mặt phẳng hoặc đường thẳng
- Giải tam giác bằng Casio — giải tam giác phẳng khi bài Oxyz quy về tam giác trong không gian
- Nhận dạng số thập phân thành √, π, phân số — nhận dạng khoảng cách thập phân thành dạng căn hoặc phân số đúng
- Hub Hình học, vector, ma trận — toàn bộ công cụ cùng nhóm, lọc theo lớp
Câu hỏi thường gặp
Công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong Oxyz là gì?
Khoảng cách từ M(x₀;y₀;z₀) đến mặt phẳng (P): ax+by+cz+d=0 tính bằng d = |ax₀+by₀+cz₀+d| / √(a²+b²+c²). Trên máy Casio, bạn bấm Abs (SHIFT hyp) để lấy trị tuyệt đối của tử số rồi chia cho căn bậc hai của mẫu số, không cần vào MENU riêng cho công thức này.
Vì sao kết quả khoảng cách luôn là số dương?
Vì công thức lấy trị tuyệt đối |ax₀+by₀+cz₀+d| ở tử số trước khi chia cho căn bậc hai (luôn dương) ở mẫu số, nên khoảng cách không bao giờ âm. Nếu tính ra số âm, bạn đã quên bấm Abs hoặc tính sai dấu hệ số mặt phẳng, cần kiểm tra lại từ đầu.
Làm sao viết phương trình mặt phẳng khi chỉ có 3 điểm, không có vectơ pháp tuyến sẵn?
Bạn tính hai vectơ AB, AC từ 3 điểm, sau đó lấy tích có hướng n = [AB, AC] để được vectơ pháp tuyến. Trên máy, vào MENU 5 (Vector), nhập VctA = AB, VctB = AC rồi bấm VctA×VctB; công cụ trên trang làm việc này tự động và hiện luôn phương trình cuối cùng.
Ba điểm A, B, C thẳng hàng thì công cụ báo gì?
Công cụ báo ba điểm thẳng hàng, không xác định duy nhất một mặt phẳng, vì tích có hướng [AB, AC] khi đó bằng vectơ không. Bạn cần chọn lại điểm C khác hoặc bổ sung thêm một điểm không thẳng hàng với A, B để bài toán có nghiệm.
Góc giữa hai mặt phẳng có thể lớn hơn 90 độ không?
Không. Công thức cos φ = |n₁·n₂| / (|n₁||n₂|) luôn lấy trị tuyệt đối của tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến, nên cos φ không âm và góc φ luôn nằm trong khoảng 0° đến 90°, kể cả khi hai mặt phẳng thực tế tạo với nhau một góc tù.
Kết quả khoảng cách dạng căn như 3√2/2 có cần đổi sang thập phân khi làm bài Phần III không?
Có. Với câu trả lời ngắn ở Phần III, đề thường yêu cầu con số cụ thể nên bạn bấm S⇔D để đổi 3√2/2 thành 2,121320344 rồi làm tròn theo yêu cầu đề bài, không nộp đáp án ở dạng căn nếu đề không cho phép.
Vì sao dùng phím Abs cho bài Oxyz lại ghi là đang kiểm chứng?
Vì thao tác dùng SHIFT hyp để gọi Abs trong công thức khoảng cách chưa được đối chiếu trực tiếp trên máy thật ở thời điểm viết bài, dù đã tra theo tài liệu hướng dẫn. Bạn nên tự bấm thử trên máy của mình và so sánh; nếu khác, trang sẽ cập nhật ngay khi có xác nhận.
Căn cứ / Nguồn
- Hướng dẫn sử dụng fx-580VN X (Casio), mục “Absolute Value” và “Vector Calculation” (MENU 5): cách tính Abs, tích có hướng.
- SGK Toán 12 (Kết nối tri thức, tập 2), chương Phương pháp tọa độ trong không gian: phương trình mặt phẳng, khoảng cách.
- Quyết định 4068/QĐ-BGDĐT (28/11/2023): cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT từ 2025, Phần III trả lời ngắn.
Chuỗi phím viết theo bố cục fx-580VN X; các mục đánh dấu “đang kiểm chứng” sẽ được xác nhận trên máy thật trước khi gỡ nhãn. Cập nhật: 21/09/2026.