- 1MENU2SHIFTMENU22Complex + Radian
- 23SHIFTENG0+4SHIFTENG(SHIFT×10^x÷2)=3∠0 + 4∠(π/2)
- 3OPTN▼1▸r∠θ: 5∠0.927295218
Công cụ này tổng hợp hai hoặc ba dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số bằng phương pháp số phức A∠φ, cho ra biên độ tổng hợp, pha ban đầu và giản đồ Fresnel minh họa, đúng theo mode Complex (MENU 2) của Casio fx-580VN X. Dùng cho học sinh lớp 11 học chương Dao động cơ trong Vật lý.
Đây là công cụ dành riêng cho môn Vật lý, dùng số phức làm phương tiện tính toán chứ không thuộc nội dung Toán 12 vì số phức đã bỏ khỏi chương trình 2018; phù hợp khi đề Vật lý yêu cầu cộng nhiều dao động điều hòa mà không muốn vẽ giản đồ vectơ bằng tay.
Cách bấm trên Casio fx-580VN X
Trên fx-580VN X, vào MENU 2 (Complex) rồi SHIFT MENU 2 chọn đơn vị góc (1: độ, 2: radian). Mỗi dao động nhập biên độ, bấm SHIFT ENG rồi pha, cộng các dao động bằng dấu +, bấm = rồi OPTN ▼ 1 để đổi sang dạng r∠θ.
- MENU 2 SHIFT MENU 2 2 — Complex + Radian
- nhập 3 SHIFT ENG nhập 0 + nhập 4 SHIFT ENG ( SHIFT ×10^x ÷ nhập 2 ) = — 3∠0 + 4∠(π/2)
- OPTN ▼ 1 — ▸r∠θ: 5∠0.927295218
Kết quả mong đợi trên máy: 5∠0.927295218.
Trên fx-880BTG
Trên fx-880BTG, vào HOME chọn app Complex để cộng số phức dạng cực tương tự rồi bấm EXE; chuỗi phím chi tiết và cách chọn đơn vị góc trên máy này đang được bổ sung.
Cách đọc kết quả máy hiện
Máy hiện kết quả cộng số phức trước, bạn bấm thêm một thao tác để đổi ra biên độ và pha.
- Biên độ tổng hợp A: chính là môđun của số phức tổng, luôn không âm, đơn vị giống đơn vị biên độ bạn nhập vào (cm, mm…).
- Pha ban đầu φ: chính là acgumen của số phức tổng, đơn vị độ hoặc radian tùy bạn chọn ở SHIFT MENU 2.
- Trường hợp A = 0: xảy ra khi hai dao động ngược pha và cùng biên độ, chúng triệt tiêu hoàn toàn nên pha ban đầu không xác định.
- Giản đồ Fresnel: công cụ vẽ thêm hình minh họa các vectơ quay và vectơ tổng, máy thật không có màn hình đủ lớn để vẽ hình này.
Công thức / Cách làm
Mỗi dao động x = A·cos(ωt + φ) tương ứng một số phức A∠φ, cộng dao động chính là cộng số phức.
- Đổi mỗi dao động Aᵢcos(ωt + φᵢ) thành số phức dạng cực Aᵢ∠φᵢ.
- Đổi từng số phức sang dạng đại số: Aᵢcos φᵢ + i·Aᵢsin φᵢ.
- Cộng phần thực và phần ảo của tất cả dao động: x = ΣAᵢcos φᵢ, y = ΣAᵢsin φᵢ.
- Biên độ tổng hợp A = √(x² + y²); pha ban đầu φ = atan2(y, x), quy về đúng góc phần tư.
- Viết lại dao động tổng hợp x = A·cos(ωt + φ) với A, φ vừa tính được.
| Độ lệch pha Δφ | Biên độ tổng hợp A | Trường hợp |
|---|---|---|
| Δφ = 0 | A = A₁ + A₂ | cùng pha, biên độ lớn nhất |
| Δφ = π (ngược pha) | A = |A₁ − A₂| | biên độ nhỏ nhất, triệt tiêu nếu A₁=A₂ |
| Δφ = π/2 (vuông pha) | A = √(A₁² + A₂²) | tính như cạnh huyền tam giác vuông |
Công thức tổng quát A = √(x²+y²) áp dụng cho mọi độ lệch pha, ba trường hợp trong bảng chỉ là các mốc đặc biệt dễ nhớ.
Ví dụ
Ba ví dụ dưới đây lấy từ bộ case kiểm thử của công cụ, số liệu khớp đúng kết quả hiển thị.
| Đề bài | Nhập | Kết quả |
|---|---|---|
| Tổng hợp x₁ = 3cos(ωt), x₂ = 4cos(ωt + π/2) | A₁=3, φ₁=0, A₂=4, φ₂=π/2 (radian) | A = 5; φ ≈ 0,927295218 rad |
| Tổng hợp x₁ = 4cos(ωt + π/3), x₂ = 4cos(ωt − π/3) | A₁=4, φ₁=π/3, A₂=4, φ₂=−π/3 (radian) | A = 4; φ = 0 rad |
| Tổng hợp x₁ = 2cos(ωt), x₂ = 2cos(ωt + π) | A₁=2, φ₁=0, A₂=2, φ₂=π (radian) | A = 0 |
Ví dụ 1: Đây là hai dao động vuông pha nên A = √(3²+4²) = 5 giống cạnh huyền tam giác vuông 3–4–5; pha tính bằng atan2(4,3).
Ví dụ 2: Hai dao động đối xứng qua trục pha 0 nên phần ảo triệt tiêu, biên độ tổng hợp bằng 4 với pha ban đầu đúng bằng 0.
Ví dụ 3: Hai dao động ngược pha, cùng biên độ 2 nên triệt tiêu hoàn toàn, biên độ tổng hợp bằng 0 và pha ban đầu không xác định.
Lỗi thường gặp khi bấm
Lỗi ở dạng này chủ yếu do nhầm đơn vị góc hoặc quên đổi số phức tổng sang dạng cực.
- Nhập pha bằng độ nhưng máy đang ở chế độ radian (hoặc ngược lại): kết quả biên độ vẫn đúng nhưng pha sai hoàn toàn, luôn kiểm tra SHIFT MENU 2 trước khi nhập.
- Cộng xong không bấm OPTN ▼ 1: máy chỉ hiện kết quả dạng a+bi, bạn dễ nhầm phần thực là biên độ trong khi phải đổi sang r∠θ mới đúng.
- Quên đổi dấu độ lệch pha âm: dao động trễ pha phải nhập φ âm (ví dụ −π/3), nhập dương làm sai toàn bộ phép cộng vectơ.
- Không kiểm tra trường hợp A = 0: nếu chỉ nhìn phần thực hoặc phần ảo riêng lẻ rồi kết luận vội, dễ bỏ sót trường hợp hai dao động triệt tiêu hoàn toàn.
- Áp dụng công thức cho hai dao động khác tần số: phương pháp số phức chỉ đúng khi các dao động cùng phương, cùng tần số góc ω.
Gặp thông báo lỗi khác, tra nhanh tại bảng lỗi máy tính Casio và cách sửa.
Công cụ liên quan
Sau khi tổng hợp, các công cụ sau giúp bạn kiểm tra lại số phức trung gian hoặc đổi đơn vị góc.
- Tính số phức bằng Casio (mode Complex) — xem chi tiết phép cộng, môđun, acgumen của từng số phức trung gian
- Đổi tọa độ Pol ↔ Rec — đổi tọa độ Pol ↔ Rec để kiểm tra lại biên độ, pha bằng cách khác
- Đổi độ ↔ radian ↔ grad — đổi độ sang radian khi đề cho pha ở đơn vị khác với máy đang cài đặt
- Tính giá trị lượng giác và góc đặc biệt — tra nhanh giá trị cos, sin của các góc đặc biệt dùng trong bước tính tay
- Hub Hình học, vector, ma trận — toàn bộ công cụ cùng nhóm, lọc theo lớp
Câu hỏi thường gặp
Vì sao dùng số phức để tổng hợp dao động điều hòa thay vì vẽ giản đồ vectơ tay?
Vì mỗi dao động điều hòa Aᵢcos(ωt+φᵢ) tương ứng một số phức Aᵢ∠φᵢ, cộng các dao động chính là cộng số phức; máy Casio cộng số phức rất nhanh và chính xác đến 10 chữ số, tránh sai số khi đo góc, đo độ dài bằng tay trên giản đồ vectơ vẽ trên giấy.
Đơn vị pha nên chọn độ hay radian khi nhập vào công cụ?
Chọn theo đúng đơn vị đề bài cho: nếu đề cho pha bằng độ, chọn Độ; nếu cho theo π (ví dụ π/2, π/3), chọn Radian. Trên máy Casio, đơn vị này được cài bằng SHIFT MENU 2, chọn sai đơn vị sẽ làm pha kết quả sai hoàn toàn dù biên độ vẫn đúng.
Khi nào biên độ tổng hợp bằng 0?
Biên độ tổng hợp bằng 0 khi các dao động triệt tiêu hoàn toàn, thường gặp nhất là hai dao động ngược pha (lệch pha π) và có cùng biên độ. Khi đó phần thực và phần ảo của tổng số phức đều bằng 0, pha ban đầu không còn ý nghĩa xác định.
Công cụ này tổng hợp được tối đa bao nhiêu dao động?
Tối đa 3 dao động cùng phương, cùng tần số góc ω trong một lần tính. Nếu đề có nhiều hơn 3 dao động, bạn tổng hợp lần lượt từng cặp: cộng 2 dao động đầu ra một dao động tổng hợp trung gian, rồi cộng tiếp dao động còn lại vào kết quả đó.
Vì sao phải cùng tần số góc ω thì mới cộng bằng số phức được?
Phương pháp số phức A∠φ chỉ mã hóa biên độ và pha ban đầu, ngầm định phần ωt giống nhau ở mọi dao động thành phần. Nếu các dao động khác tần số góc, tổng của chúng không còn là một dao động điều hòa đơn giản nữa nên công thức cộng số phức không áp dụng được.
Giản đồ Fresnel trên trang có giống hình vẽ tay trong SGK không?
Về bản chất là giống nhau: mỗi dao động biểu diễn bằng một vectơ quay có độ dài bằng biên độ, góc bằng pha ban đầu, vectơ tổng chính là dao động tổng hợp. Công cụ chỉ vẽ tự động bằng SVG theo đúng tỉ lệ số liệu bạn nhập, giúp bạn hình dung nhanh trước khi trình bày lại bằng tay trong bài thi.
Kết quả biên độ và pha có cần làm tròn khi ghi vào bài Vật lý không?
Có, làm tròn theo đúng yêu cầu của đề, thường 2–3 chữ số thập phân cho biên độ, hoặc để dạng phân số của π cho pha nếu ra góc đặc biệt. Máy Casio và công cụ đều hiện tối đa 10 chữ số, bạn tự làm tròn ở bước cuối cùng trước khi ghi đáp án.
Căn cứ / Nguồn
- Hướng dẫn sử dụng fx-580VN X (Casio), mục “Complex Number Calculations” (MENU 2): cộng số phức dạng cực, đổi ▸r∠θ.
- SGK Vật lí 11 (Kết nối tri thức), chương Dao động: tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số bằng giản đồ Fresnel.
- Thông tư 32/2018/TT-BGDĐT (26/12/2018), Chương trình giáo dục phổ thông môn Vật lí: nội dung dao động cơ lớp 11.
Chuỗi phím viết theo bố cục fx-580VN X; các mục đánh dấu “đang kiểm chứng” sẽ được xác nhận trên máy thật trước khi gỡ nhãn. Cập nhật: 21/09/2026.