Tính kỳ vọng, phương sai biến ngẫu nhiên rời rạc bằng Casio

Tính kỳ vọng biến ngẫu nhiên bằng Casio fx-580VN X: E(X), V(X), σ(X), nhập bảng phân bố xᵢ, pᵢ, đúng chuỗi phím thật MENU 6 Freq.

Lớp 12· Cập nhật: 21/09/2026· Căn cứ / Nguồn
Mục lục
  1. Cách bấm trên Casio fx-580VN X
  2. Cách đọc kết quả máy hiện
  3. Công thức / Cách làm
  4. Ví dụ
  5. Lỗi thường gặp khi bấm
  6. Công cụ liên quan
  7. Câu hỏi thường gặp
  8. Căn cứ / Nguồn
Lớp 12
Đang tải công cụ…
Chuỗi phím
  1. 1
    SHIFTMENU▼31
    Bật Freq
  2. 2
    MENU610=1=2=▶▲▲0.25=0.5=0.25=AC
    x = xᵢ, Freq = pᵢ
  3. 3
    OPTN3
    x̄ = E(X) = 1, σ²x = V(X) = 0.5

Công cụ này tính kỳ vọng E(X), E(X²), phương sai V(X), độ lệch chuẩn σ(X) và P(X ≤ k) của một biến ngẫu nhiên rời rạc từ bảng phân bố xác suất, kiểm tra Σpᵢ = 1, rồi hiện đúng chuỗi phím MENU 6 1 với cột Freq của máy Casio fx-580VN X. Dùng cho học sinh lớp 12 học Chuyên đề Biến ngẫu nhiên rời rạc và sinh viên năm nhất.

Đây không phải nội dung đại trà của đề thi tốt nghiệp THPT từ 2025 như xác suất có điều kiện, nhưng lại là nền tảng để hiểu công thức np, np(1 − p) trong phân phối nhị thức. Muốn tính trực tiếp dạng đề Phần III, hãy dùng công cụ phân phối nhị thức hoặc xác suất Bayes.

Cách bấm trên Casio fx-580VN X

Trên fx-580VN X, bật cột tần số bằng SHIFT MENU ▼ 3 1, vào MENU 6 1, nhập xᵢ vào cột x, bấm ▶ sang cột Freq nhập pᵢ, rồi AC, OPTN 3 để đọc x̄ và σ²x.

  1. SHIFT MENU ▼ 3 1 — Bật Freq
  2. MENU 6 1 nhập 0 = nhập 1 = nhập 2 = ▶ ▲ ▲ nhập 0.25 = nhập 0.5 = nhập 0.25 = AC — x = xᵢ, Freq = pᵢ
  3. OPTN 3 — x̄ = E(X) = 1, σ²x = V(X) = 0.5

Kết quả mong đợi trên máy: E = 1, V = 0.5.

Trên fx-880BTG

Trên fx-880BTG bạn bấm HOME, chọn app Statistics, 1-Variable, bật Frequency On trong TOOLS, nhập xᵢ và pᵢ rồi xem 1-Var Results; chuỗi phím 880BTG đang được bổ sung.

Cách đọc kết quả máy hiện

Máy không có mục “kỳ vọng” riêng; bạn phải hiểu x̄ và σ²x của Statistics chính là E(X) và V(X) khi cột Freq là bảng xác suất.

  • x̄ trên máy = E(X): vì trung bình có trọng số Σxᵢpᵢ đúng bằng công thức kỳ vọng khi Σpᵢ = 1.
  • σ²x trên máy = V(X): máy chia cho n (ở đây n = Σpᵢ = 1) nên σ²x chính là phương sai theo định nghĩa Σ(xᵢ − E(X))²pᵢ.
  • σx trên máy = σ(X): độ lệch chuẩn, căn bậc hai của V(X), không nhầm với sx (không dùng trong bài này).
  • Σpᵢ khác 1: công cụ cảnh báo ngay nếu bảng phân bố chưa hợp lệ; máy thật không tự kiểm tra điều này nên bạn phải cộng tay Freq trước khi tin kết quả.
  • Bảng chi tiết bên dưới liệt kê xᵢpᵢ và xᵢ²pᵢ từng dòng, đúng thứ tự cần trình bày khi làm tự luận theo công thức E(X) = Σxᵢpᵢ.

Công thức / Cách làm

Công cụ tính theo đúng định nghĩa kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên rời rạc trong SGK, không dùng công thức rút gọn np.

  1. Kiểm tra bảng hợp lệ: mỗi pᵢ ∈ [0; 1] và Σpᵢ = 1.
  2. E(X) = Σxᵢpᵢ: nhân từng giá trị với xác suất tương ứng rồi cộng lại.
  3. E(X²) = Σxᵢ²pᵢ, tính tương tự với xᵢ² thay cho xᵢ.
  4. V(X) = E(X²) − [E(X)]², đây là công thức nhanh, tương đương Σ(xᵢ − E(X))²pᵢ.
  5. σ(X) = √V(X); P(X ≤ k) = Σ xác suất của các xᵢ ≤ k.
Đại lượngCông thứcKý hiệu trên máyVí dụ X = 0,1,2; p = 1/4,1/2,1/4
E(X)Σxᵢpᵢx̄1
V(X)E(X²) − [E(X)]²σ²x1/2 ≈ 0,5
σ(X)√V(X)σx√2/2 ≈ 0,7071067812

Máy tính 15 chữ số nội bộ, hiển thị 10 chữ số; công cụ làm tròn cùng mức nên E(X), V(X) trùng máy khi nhập đúng cột x, Freq.

Ví dụ

Hai ví dụ dưới đây là chip có sẵn trong công cụ và cũng là case kiểm thử.

Đề bàiNhậpKết quả
X nhận giá trị 0, 1, 2 với xác suất tương ứng 1/4, 1/2, 1/4. Tính E(X), V(X), σ(X), P(X ≤ 1)Bảng phân bố: 0 1/4 · 1 1/2 · 2 1/4; k = 1E(X) = 1; V(X) = 1/2 ≈ 0,5; σ(X) = √2/2 ≈ 0,7071067812; P(X ≤ 1) = 3/4
Gieo một xúc xắc cân đối. Tính E(X), V(X), P(X ≤ 3)Bảng phân bố: 1..6, mỗi giá trị xác suất 1/6; k = 3E(X) = 7/2 = 3,5; V(X) = 35/12 ≈ 2,916666667; P(X ≤ 3) = 1/2

Ví dụ 1: E(X) = 0×1/4 + 1×1/2 + 2×1/4 = 1. E(X²) = 0×1/4 + 1×1/2 + 4×1/4 = 3/2 nên V(X) = 3/2 − 1 = 1/2. Trên máy: bật Freq, nhập x = 0,1,2 và Freq = 1/4,1/2,1/4, bấm OPTN 3 ra x̄ = 1, σ²x = 0.5.

Ví dụ 2: E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5, đúng công thức trung bình đều. E(X²) = (1+4+9+16+25+36)/6 = 91/6 nên V(X) = 91/6 − 49/4 = 35/12. Máy hiện x̄ = 3.5, σ²x = 2.916666667 khi nhập đủ 6 dòng với Freq bằng nhau.

Lỗi thường gặp khi bấm

Sai ở dạng này chủ yếu do quên bật Freq hoặc nhầm σ²x với công thức phương sai chia n − 1.

  • Quên bật Freq (SHIFT MENU ▼ 3 1): máy coi mỗi pᵢ là một lần lặp lại, n hiện bằng số dòng thay vì bằng 1, khiến x̄ và σ²x sai hoàn toàn.
  • Nhập Σpᵢ ≠ 1 mà không kiểm tra: bảng phân bố không hợp lệ, đề chắc chắn cho sai số liệu hoặc bạn gõ nhầm; công cụ cảnh báo ngay còn máy thật thì không.
  • Đọc sx (chia n − 1) thay vì σx (chia n): với bảng phân bố xác suất, công thức đúng luôn là σx vì đây là phương sai lý thuyết, không phải mẫu hiệu chỉnh.
  • Nhầm cột x và cột Freq: gõ xác suất vào cột x và giá trị biến vào Freq sẽ cho kết quả vô nghĩa; kiểm tra lại bằng cách xem n có bằng 1 sau khi AC hay không.
  • Tính P(X ≤ k) bằng cách cộng nhầm cả pᵢ của xᵢ > k: chỉ cộng các dòng có xᵢ nhỏ hơn hoặc bằng k, công cụ tự lọc đúng điều kiện này.

Gặp thông báo lỗi khác, tra nhanh tại bảng lỗi máy tính Casio và cách sửa.

Công cụ liên quan

Các công cụ sau cùng hub Thống kê – Xác suất, dùng trước hoặc sau khi tính kỳ vọng của biến ngẫu nhiên.

Câu hỏi thường gặp

Kỳ vọng biến ngẫu nhiên rời rạc có nằm trong đề thi tốt nghiệp THPT từ 2025 không?

Không thuộc nội dung đại trà ba phần I, II, III theo Quyết định 4068/QĐ-BGDĐT. Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên rời rạc chủ yếu xuất hiện ở Chuyên đề học tập tự chọn, đề học sinh giỏi hoặc là nền tảng lý thuyết cho công thức np, np(1 − p) trong phân phối nhị thức ở Phần III, nên công cụ này phục vụ việc học và kiểm tra chéo.

Vì sao dùng MENU 6 Statistics của máy để tính kỳ vọng thay vì một mục riêng?

Máy fx-580VN X không có mode Xác suất riêng cho biến ngẫu nhiên rời rạc. Nhưng về bản chất, kỳ vọng E(X) = Σxᵢpᵢ chính là công thức trung bình có trọng số mà Statistics đã tính sẵn khi cột Freq mang giá trị pᵢ. Bạn chỉ cần coi bảng phân bố xác suất như một bảng tần số, nhập vào MENU 6 1 rồi đọc x̄ và σ²x.

Tại sao phải kiểm tra Σpᵢ = 1 trước khi tin kết quả?

Bảng phân bố xác suất chỉ hợp lệ khi tổng các pᵢ đúng bằng 1; nếu khác 1, đề đã cho sai số liệu hoặc bạn nhập nhầm một dòng. Máy Casio không tự kiểm tra điều này, cứ tính x̄, σ²x bình thường dù Σpᵢ = 0,9 hay 1,1, dẫn đến kết quả sai mà không có cảnh báo. Công cụ trên trang tự cộng và báo ngay khi phát hiện lệch.

V(X) tính bằng E(X²) − [E(X)]² có giống công thức Σ(xᵢ − E(X))²pᵢ trong SGK không?

Giống nhau về giá trị, chỉ khác cách triển khai đại số. SGK thường trình bày V(X) = Σ(xᵢ − E(X))²pᵢ để nêu rõ ý nghĩa độ lệch khỏi trung bình, còn công thức E(X²) − [E(X)]² là dạng khai triển tương đương, tính nhanh hơn vì không phải trừ E(X) ở từng số hạng. Máy Casio và công cụ đều dùng cách tính nhanh này.

Công cụ có nhận bảng phân bố với xᵢ âm hoặc không nguyên không?

Có. Biến ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận giá trị âm hoặc thập phân, ví dụ lãi/lỗ của một trò chơi. Bạn nhập bình thường mỗi dòng “xᵢ pᵢ”, công cụ chỉ yêu cầu mỗi pᵢ nằm trong [0; 1] và không giới hạn dấu hay kiểu số của xᵢ, miễn tổng Σpᵢ tiến gần 1 trong sai số cho phép.

Kết quả trên công cụ có giống máy Casio thật không?

Có. Công cụ dùng đúng công thức Σxᵢpᵢ và Σxᵢ²pᵢ như máy tính khi cột Freq mang giá trị xác suất, làm tròn 10 chữ số hiển thị giống nhau ở mọi case kiểm thử. Chuỗi phím MENU 6 1, SHIFT MENU ▼ 3 1, OPTN 3 viết theo hướng dẫn sử dụng của Casio; máy bạn hiện khác thì báo qua trang liên hệ để được kiểm tra.

Căn cứ / Nguồn

  • Hướng dẫn sử dụng fx-580VN X (Casio), mục “Tính toán thống kê”: bật Frequency, nhập dữ liệu 1-Variable, ý nghĩa x̄, σ²x, σx.
  • Chương trình Chuyên đề học tập Toán 11–12 (Thông tư 32/2018/TT-BGDĐT): chủ đề biến ngẫu nhiên rời rạc, kỳ vọng và phương sai.
  • Quyết định 4068/QĐ-BGDĐT (28/11/2023): cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT từ 2025, xác nhận nội dung này không thuộc đại trà ba phần I, II, III.

Chuỗi phím viết theo bố cục fx-580VN X; các mục đánh dấu “đang kiểm chứng” sẽ được xác nhận trên máy thật trước khi gỡ nhãn. Cập nhật: 21/09/2026.

Mở máy