- 1∫SHIFThypxx²−0▶▶0▶3=∫₀³ |x² − 0| dx = 9 (Abs = SHIFT hyp, _verify)
- 2SHIFT×10^x∫SHIFThypxx^■4▶▶▶0▶3=V = π∫|x⁴| = 48.6π ≈ 152.6813
Công cụ này tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), y = g(x) trên [a; b] theo S = ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx, và thể tích khối tròn xoay quanh Ox theo V = π∫ₐᵇ |f² − g²| dx; để trống a, b thì công cụ tự giải f = g tìm giao điểm. Dành cho học sinh lớp 12 và giáo viên soạn đề.
Trong đề thi tốt nghiệp THPT từ 2025, dạng này quen thuộc ở Phần III (trả lời ngắn): đề yêu cầu một con số, thường làm tròn đến hàng phần trăm. Công cụ hiện đúng chuỗi phím ∫ Abs, kèm dạng kπ khi thể tích là bội của π.
Cách bấm trên Casio fx-580VN X
Trên fx-580VN X ở chế độ Calculate, bấm ∫ để mở khung ∫□dx với hai ô cận, rồi bấm Abs để nhập f(x) − g(x) trong dấu | |. Vị trí phím Abs (SHIFT hyp, bảng phím site ghi SHIFT () đang được kiểm chứng. Bấm ▶ nhập cận dưới, cận trên rồi =; thể tích thì bấm thêm SHIFT ×10ˣ (π) trước khung ∫ và bình phương biểu thức.
- ∫ SHIFT hyp x x² − nhập 0 ▶ ▶ nhập 0 ▶ nhập 3 = — ∫₀³ |x² − 0| dx = 9 (Abs = SHIFT hyp, _verify)
- SHIFT ×10^x ∫ SHIFT hyp x x^■ nhập 4 ▶ ▶ ▶ nhập 0 ▶ nhập 3 = — V = π∫|x⁴| = 48.6π ≈ 152.6813
Kết quả mong đợi trên máy: S = 9. Chuỗi phím này đang được kiểm chứng trên máy thật.
Trên fx-880BTG
Trên fx-880BTG, vào HOME → Calculate, lấy ∫ và Abs từ CATALOG → Func Analysis, điền cận rồi EXE thay cho =; chuỗi phím riêng của máy này đang được bổ sung.
Cách đọc kết quả máy hiện
Công cụ hiện S và V ở dòng lớn, kèm dạng đúng khi nhận ra, đoạn [a; b] đã dùng và giao điểm nằm trong (a; b).
- S = 9 hoặc S = 1/6 ≈ 0,1666666667: diện tích đã lấy trị tuyệt đối nên luôn dương; dạng phân số hiện khi nhận dạng được, giống S⇔D.
- V quanh Ox = 243/5π ≈ 152,681403: phần số 243/5 = 48,6. Nếu V không là bội hữu tỉ của π (như π²), công cụ chỉ hiện số thập phân.
- Đoạn [0; 1] (tự tìm): để trống a, b thì công cụ giải f = g, lấy giao điểm nhỏ nhất, lớn nhất trong [−20; 20].
- Giao điểm trong (a; b): π: f − g đổi dấu trong đoạn nên phải dùng Abs (hoặc tách đoạn); ghi “không” thì bỏ Abs vẫn được.
- Thông báo Khi f − g đổi dấu, nếu bấm ∫(f − g) không có Abs sẽ ra kết quả sai nhắc đúng điểm dễ mất điểm.
Công thức / Cách làm
Công cụ dùng hai công thức SGK, tính tích phân bằng Gauss–Kronrod như phím ∫ của máy.
- Nếu a, b trống: giải f(x) − g(x) = 0 bằng quét 800 điểm trên [−20; 20] rồi tinh chỉnh Newton; a là nghiệm nhỏ nhất, b là nghiệm lớn nhất.
- S = ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx: tương đương tách đoạn tại giao điểm rồi cộng giá trị tuyệt đối từng phần.
- V = π∫ₐᵇ |f²(x) − g²(x)| dx cho khối tròn xoay quanh Ox; với g = 0 thành V = π∫ₐᵇ f²(x) dx.
- Tìm nghiệm f = g nằm trong (a; b) để cảnh báo đổi dấu; đây là chỗ phải dùng Abs.
- Làm tròn S, V về 10 chữ số có nghĩa, thử đưa S về phân số, V về dạng (p/q)π.
| Hình phẳng | Công thức | Ví dụ | Kết quả |
|---|---|---|---|
| y = f(x), Ox, x = a, x = b | S = ∫ₐᵇ |f(x)| dx | x², [0; 3] | S = 9 |
| y = f(x), y = g(x) | S = ∫ₐᵇ |f − g| dx, a, b là giao điểm | x² và x | S = 1/6 |
| f đổi dấu trong đoạn | S = ∫ₐᵇ |f| dx (bắt buộc Abs) | sin x, [0; 2π] | S = 4 |
| Quay quanh Ox | V = π∫ₐᵇ f²(x) dx | x², [0; 3] | V = 243π/5 |
Máy tính tích phân bằng số với 15 chữ số nội bộ; Abs tại điểm đổi dấu cần thêm thời gian nhưng vẫn khớp công cụ đến 10 chữ số.
Ví dụ
Ba ví dụ dưới đây là chip mẫu và cũng là case kiểm thử của công cụ; số liệu trùng màn hình máy.
| Đề bài | Nhập | Kết quả |
|---|---|---|
| Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x², trục Ox, x = 0, x = 3 và thể tích khi quay quanh Ox | f(x) = x^2, g(x) = 0, a = 0, b = 3 | S = 9; V = 243/5π ≈ 152,681403; giao điểm trong (0; 3): không |
| Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x² và y = x | f(x) = x^2, g(x) = x, để trống a và b | Giao điểm x = 0 và x = 1; S = 1/6 ≈ 0,1666666667; V = 2/15π ≈ 0,4188790205 |
| Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = sin x, trục Ox, x = 0, x = 2π | f(x) = sin x, g(x) = 0, a = 0, b = 2π | S = 4; giao điểm trong (0; 2π): π; V = 9,869604401 (= π²) |
Ví dụ 1: Trên máy: ∫ Abs(x² − 0) từ 0 đến 3 hiện 9. Thể tích: SHIFT ×10ˣ (π) rồi ∫ Abs(x⁴) từ 0 đến 3 hiện 152.681403; ÷ π = 48.6, tức 48,6π = 243π/5.
Ví dụ 2: Công cụ tự giải x² = x ra 0 và 1. Trên máy: ∫ Abs(x² − x) từ 0 đến 1 hiện 0.1666666667, S⇔D thấy 1/6. Không Abs vẫn đúng vì x² − x không đổi dấu trong (0; 1), nhưng máy hiện −1/6.
Ví dụ 3: Máy phải ở Radian (SHIFT MENU 2 2). ∫ Abs(sin x) từ 0 đến 2π hiện 4; bỏ Abs thì ra 0 vì hai nửa triệt tiêu. Thể tích π∫ sin²x = π² nên chỉ hiện 9,869604401, không có dạng kπ.
Lỗi thường gặp khi bấm
Ba nguồn sai phổ biến: quên Abs khi f − g đổi dấu, để máy ở Degree, và nhập nhầm cận.
- Bấm ∫(f − g) không có Abs khi hai đường cắt nhau trong đoạn: phần âm triệt tiêu phần dương, ví dụ ∫₀²π sin x dx = 0 thay vì 4. Luôn bọc f − g trong Abs.
- Để Degree khi f có sin, cos: ∫₀²π |sin x| dx ra 0.1096… thay vì 4. Bấm SHIFT MENU 2 2 chọn Radian trước.
- Nhập g(x) vào ô f và ngược lại rồi bỏ Abs: máy hiện số âm; dấu trừ nghĩa là thiếu Abs hoặc nhầm thứ tự.
- Tính thể tích bằng π∫(f − g)² thay vì π∫|f² − g²|: chỉ áp dụng π∫|f² − g²| khi f, g cùng dấu trên đoạn.
- Máy báo Time Out khi Abs trên đoạn rộng: tách đoạn tại giao điểm rồi bấm từng tích phân không Abs, cộng trị tuyệt đối.
Gặp thông báo lỗi khác, tra nhanh tại bảng lỗi máy tính Casio và cách sửa.
Công cụ liên quan
Các công cụ sau dùng chung phím ∫, giúp tìm giao điểm trước khi tính diện tích.
- Tính tích phân xác định bằng Casio — tính ∫ₐᵇ f(x)dx một đường, không Abs, để so từng phần của S
- Giải phương trình bất kỳ bằng SOLVE — giải f(x) = g(x) bằng SOLVE khi không tự tìm được giao điểm
- Giải phương trình bậc 2 bằng Casio — tìm giao điểm parabol và đường thẳng bằng MENU A 2 2, ra nghiệm dạng đúng
- Kiểm tra nguyên hàm bằng Casio — kiểm tra nguyên hàm khi đề yêu cầu trình bày S bằng F(b) − F(a)
- Nhận dạng số thập phân thành √, π, phân số — đổi kết quả thập phân của V sang dạng kπ
- Hub Giải tích — toàn bộ công cụ cùng nhóm, lọc theo lớp
Câu hỏi thường gặp
Phím Abs trên Casio fx-580VN X nằm ở đâu?
Chuỗi phím trên trang ghi Abs là SHIFT hyp, còn bảng phím website ghi SHIFT (; hai vị trí này đang được đối chiếu trên máy thật. Cách nhận biết: sau khi bấm, màn hình hiện hai vạch | | với con trỏ ở giữa.
Khi nào được bỏ Abs mà kết quả vẫn đúng?
Khi f − g không đổi dấu trên [a; b], tức công cụ ghi “Giao điểm trong (a; b): không”. Khi đó ∫(f − g) cho đúng S hoặc −S, bạn chỉ cần lấy trị tuyệt đối. Có giao điểm bên trong thì bắt buộc dùng Abs hoặc tách đoạn.
Công cụ tự tìm giao điểm dựa vào đâu, có tin được không?
Công cụ giải f(x) = g(x) bằng số trên [−20; 20] rồi lấy nghiệm nhỏ nhất, lớn nhất làm a, b. Với đa thức bậc thấp như x² và x, kết quả chính xác 0 và 1. Nếu hình chỉ giới hạn bởi hai giao điểm giữa nhiều giao điểm, bạn phải tự nhập a, b theo hình vẽ.
Đề Phần III yêu cầu làm tròn đến hàng phần trăm thì bấm thế nào?
Bấm ∫ với Abs để ra số đầy đủ, ví dụ 152.681403, rồi tự làm tròn thành 152,68 khi ghi đáp án. Không cài FIX 2 trước khi tính vì máy hiện số đã làm tròn, dùng tiếp giá trị đó sẽ lệch.
Thể tích công cụ hiện 243/5π nghĩa là gì?
Là V = (243/5)·π = 48,6π ≈ 152,681403 đơn vị thể tích. Công cụ thử chia V cho π, đưa về phân số mẫu đến 1000; chia được thì hiện dạng kπ để đối chiếu đáp án viết theo π. Trên máy, bấm kết quả ÷ π = rồi S⇔D.
Thể tích khi quay quanh Oy có tính được không?
Chưa. Công cụ chỉ tính quay quanh Ox theo π∫|f² − g²| dx. Với trục Oy, bạn đổi biến để có x theo y rồi nhập hàm đó với cận theo y, công thức vẫn π∫ x(y)² dy. Chương trình 2018 chỉ yêu cầu quay quanh Ox.
Kết quả máy thật và công cụ có khác nhau không?
Cùng thuật toán tích phân số và cùng 10 chữ số hiển thị nên S, V trùng nhau; riêng tích phân có Abs máy thật tính chậm hơn vài giây. Khác biệt duy nhất: máy hiện dấu chấm (152.681403), công cụ hiện dấu phẩy tiếng Việt.
Căn cứ / Nguồn
- Hướng dẫn sử dụng fx-580VN X (Casio), mục “Tính toán tích phân” và mục “Abs”: cú pháp ∫(f(x), a, b) và lưu ý thời gian tính.
- SGK Toán 12 (Kết nối tri thức, tập 2), chương IV, bài Ứng dụng hình học của tích phân: S = ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx và V = π∫ₐᵇ f²(x) dx.
- SGK Toán 12 (Cánh Diều, tập 2), chương IV, bài 4 Ứng dụng hình học của tích phân.
- Quyết định 4068/QĐ-BGDĐT (28/11/2023): cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT từ 2025, Phần III gồm 6 câu trả lời ngắn.
Chuỗi phím viết theo bố cục fx-580VN X; các mục đánh dấu “đang kiểm chứng” sẽ được xác nhận trên máy thật trước khi gỡ nhãn. Cập nhật: 21/09/2026.