- 1SHIFT∫xx^■3▶÷3▶1.5−1.5x²d/dx(x³/3)|x=1.5 − f(1.5)
- 2=→ 0 ⇒ F = x³/3 là nguyên hàm; thay F = x³ cho 4.5 ≠ 0
Công cụ này nhận f(x) và tối đa bốn ứng viên F(x) (A, B, C, D), tính hiệu F′(x₀) − f(x₀) tại ba điểm thử rồi kết luận ứng viên nào là nguyên hàm của f. Dùng cho học sinh lớp 12 học chương Nguyên hàm – Tích phân và giáo viên soạn câu trắc nghiệm.
Trong đề thi tốt nghiệp THPT từ 2025, câu “F(x) nào là nguyên hàm của f(x)” nằm ở Phần I (trắc nghiệm bốn phương án), nên kiểm tra bằng d/dx là cách hợp lệ và nhanh nhất. Với Phần II–III, đề yêu cầu tính ra con số nên chuyển sang công cụ tính tích phân, không dùng cách loại trừ.
Cách bấm trên Casio fx-580VN X
Trên fx-580VN X ở chế độ Calculate, bấm SHIFT ∫ để mở khung d/dx(□)|x=□, nhập F(x), ▶ nhập điểm thử x₀, bấm − rồi nhập f(x₀). Bấm = ra 0 (hoặc số cỡ 10⁻¹⁰) là F đúng; muốn thử nhiều điểm, viết x₀ bằng biến A rồi bấm CALC.
- SHIFT ∫ x x^■ nhập 3 ▶ ÷ nhập 3 ▶ nhập 1.5 − nhập 1.5 x² — d/dx(x³/3)|x=1.5 − f(1.5)
- = — → 0 ⇒ F = x³/3 là nguyên hàm; thay F = x³ cho 4.5 ≠ 0
Trên fx-880BTG
Trên fx-880BTG, vào HOME → Calculate, mở CATALOG → Func Analysis → d/dx, điền F(x) và x₀, rồi bấm EXE thay cho =; chuỗi phím riêng của máy này đang được bổ sung và kiểm chứng trên máy thật.
Cách đọc kết quả máy hiện
Công cụ hiện dòng “Nguyên hàm đúng” kèm chữ cái đáp án, và bảng F′ − f tại ba điểm thử với dấu ✔ đúng hoặc ✘ sai cho từng ứng viên.
- Nguyên hàm đúng: A: chỉ A có F′ − f ≈ 0 ở cả ba điểm. Hiện “A, B” nghĩa là cả hai đúng, thường vì chỉ khác hằng số C.
- Ô giá trị cỡ 10⁻¹¹: đó là 0 theo sai số đạo hàm số; công cụ chấp nhận hiệu nhỏ hơn 10⁻⁶, máy thật thường làm tròn hiện đúng 0.
- Ô giá trị lớn như 4,5, 8, 0,5: F′ lệch f rõ rệt, ứng viên bị đánh ✘ sai; chỉ cần một điểm sai là loại.
- ERR trong ô: F hoặc f không xác định tại điểm thử. Đổi điểm thử vào tập xác định chung của f và F.
- Không có: không ứng viên nào đạt. Xem lại cách nhập (ln(abs(x)) cho ln|x|, sin x theo radian) trước khi kết luận đề sai.
Công thức / Cách làm
Cơ sở là định nghĩa: F là nguyên hàm của f trên K khi F′(x) = f(x) với mọi x thuộc K; công cụ kiểm tra đẳng thức này bằng số tại ba điểm.
- Chọn ba điểm thử x₀ trong tập xác định chung (mặc định 1,5; 2; 0,5), đủ khác nhau để loại đáp án chỉ trùng f tại một điểm.
- Tại mỗi x₀, tính F′(x₀) bằng sai phân trung tâm như phím d/dx của máy, rồi lấy hiệu Δ = F′(x₀) − f(x₀).
- |Δ| < 10⁻⁶ ở cả ba điểm ⇒ ✔ đúng; ngược lại ✘ sai. Ngưỡng này lớn hơn sai số của d/dx (cỡ 10⁻¹⁰) nhưng nhỏ hơn sai lệch thật của đáp án nhiễu.
- Hằng số C không ảnh hưởng: F + 5 có cùng đạo hàm với F, nên đáp án dạng ln x + 5 vẫn ✔ đúng nếu ln x đúng.
- Chuỗi phím máy: SHIFT ∫, F(x), ▶, x₀, −, f(x₀), =; đổi F bằng cách bấm ◀ sửa biểu thức.
| f(x) | Ứng viên F(x) | F′ − f tại 1,5 | Kết luận |
|---|---|---|---|
| x² | x³/3 | 0 | ✔ nguyên hàm |
| x² | x³ | 4,5 | ✘ (F′ = 3x²) |
| 1/x | ln|x| | 0 | ✔ nguyên hàm |
| 1/x | x·ln x | 0,738798 | ✘ (F′ = ln x + 1) |
| sin x | −cos x | 0 | ✔ nguyên hàm |
Máy tính d/dx bằng sai phân với 15 chữ số nội bộ nên hiệu đáp án đúng hiện 0 hoặc số rất nhỏ; công cụ dùng cùng thuật toán nên cho cùng kết luận.
Ví dụ
Ba ví dụ dưới đây là ba chip mẫu của công cụ và cũng là case kiểm thử; bạn bấm đúng chuỗi phím sẽ thấy cùng số trên máy.
| Đề bài | Nhập | Kết quả |
|---|---|---|
| f(x) = x². Nguyên hàm là A. x³/3 hay B. x³? | f = x^2, A = x^3/3, B = x^3, điểm thử 1,5; 2; 0,5 | Nguyên hàm đúng: A. Bảng: A cho ≈ 0 ở cả ba điểm; B cho 4.5, 8, 0.5 → ✘ sai |
| f(x) = 1/x. Trong ln|x|, ln x + 5, x·ln x, hàm nào là nguyên hàm? | f = 1/x, A = ln(abs(x)), B = ln(x)+5, C = x*ln(x), điểm thử 1,5; 2; 3 | Nguyên hàm đúng: A, B. C cho 0.738798; 1.19315; 1.76528 → ✘ sai |
| f(x) = sin x. Nguyên hàm là A. −cos x hay B. cos x? | f = sin x, A = -cos x, B = cos x, điểm thử 1; 2; 0,5 | Nguyên hàm đúng: A. B cho −1.68294; −1.81859; −0.958851 → ✘ sai |
Ví dụ 1: Trên máy: SHIFT ∫ nhập x³÷3, ▶ 1.5, − 1.5x², = ra 0. Sửa biểu thức thành x³ rồi = được 4.5 (3·1,5² − 1,5²), nên B sai.
Ví dụ 2: A và B cùng đúng vì chỉ khác hằng số 5; trên x > 0, ln|x| và ln x trùng nhau. C có F′ = ln x + 1 ≠ 1/x nên sai; điểm thử chọn dương để ln xác định.
Ví dụ 3: Công cụ tính theo radian như SGK. Trên máy bấm SHIFT MENU 2 2 chọn Radian trước, rồi SHIFT ∫ nhập −cos(x), ▶ 1, − sin(1), = ra 0. Để Degree, cả hai ứng viên cho số khác 0.
Lỗi thường gặp khi bấm
Kết luận sai ở dạng này hầu hết do đơn vị góc, cách nhập hàm và chọn điểm thử ngoài tập xác định.
- Để máy ở Degree khi f chứa sin, cos: hiệu ra khác 0 dù đáp án đúng. Bấm SHIFT MENU 2 2 (Radian) trước khi kiểm tra.
- Nhập ln|x| thành ln x rồi thử tại điểm âm: máy báo Math ERROR, công cụ ghi ERR. Nhập ln(abs(x)) trên công cụ và chọn điểm thử dương cho đơn giản.
- Quên dấu − giữa khung d/dx và f(x₀): máy tính riêng F′(x₀) rồi so bằng mắt dễ nhầm khi số lẻ. Luôn bấm − và nhập f(x₀) ngay sau khung để máy trả về một số duy nhất, 0 là đúng.
- Chỉ thử một điểm rồi kết luận: có đáp án nhiễu trùng f tại đúng điểm đó. Công cụ dùng ba điểm; trên máy nên CALC ít nhất hai điểm.
- Nhập x³÷3x bằng phím ÷: máy hiểu là x³÷(3x) do phép nhân ẩn được ưu tiên, khiến F′ lệch hẳn. Dùng phím ■/■ để nhập rõ tử mẫu, hoặc bọc mẫu trong ngoặc.
Gặp thông báo lỗi khác, tra nhanh tại bảng lỗi máy tính Casio và cách sửa.
Công cụ liên quan
Sau khi chọn được F, các công cụ sau giúp bạn tính giá trị cụ thể cho Phần II–III hoặc kiểm tra ngược bằng đạo hàm.
- Tính tích phân xác định bằng Casio — tính ∫ₐᵇ f(x)dx ra con số, đúng yêu cầu Phần III thay vì chỉ chọn đáp án
- Tính đạo hàm tại một điểm bằng Casio — tính F′(x₀) tại một điểm và xem chuỗi phím d/dx đầy đủ
- Tính diện tích hình phẳng và thể tích tròn xoay — dùng nguyên hàm vừa kiểm tra để tính diện tích hình phẳng, thể tích tròn xoay
- Kiểm tra đáp án trắc nghiệm bằng CALC — thay nhiều giá trị x₀ vào một biểu thức bằng CALC, cách thử ba điểm trên máy
- Lập bảng giá trị TABLE f(x), g(x) — lập bảng F′(x) − f(x) theo x để thấy hiệu bằng 0 trên cả đoạn
- Hub Giải tích — toàn bộ công cụ cùng nhóm, lọc theo lớp
Câu hỏi thường gặp
Máy Casio fx-580VN X có tính được nguyên hàm dạng ký hiệu không?
Không. Máy chỉ tính đạo hàm và tích phân bằng số, không biến đổi biểu thức, nên không thể hiện ra F(x) = x³/3 + C. Vì vậy cách làm trong phòng thi là ngược lại: lấy từng đáp án F cho sẵn, đạo hàm bằng d/dx tại một điểm rồi trừ f tại điểm đó; hiệu bằng 0 là F đúng. Công cụ tự động hóa ba lần thử đó.
Hiệu F′ − f hiện −2,1×10⁻¹¹ có được coi là 0 không?
Được. Phím d/dx tính đạo hàm bằng sai phân nên luôn có sai số cỡ 10⁻¹⁰ đến 10⁻¹²; máy thật thường hiện 0 vì làm tròn hiển thị, công cụ hiện số thô hơn. Chỉ khi hiệu cỡ 10⁻³ trở lên, nghĩa là lớn hơn ngưỡng 10⁻⁶, mới kết luận F sai.
Tại sao cả ln x và ln x + 5 đều được đánh dấu đúng?
Vì nguyên hàm của một hàm là cả một họ F(x) + C, mọi hằng số C đều thỏa F′ = f. Trong đề trắc nghiệm, đáp án đúng thường được viết với C hoặc chọn C cụ thể; nếu hai phương án chỉ khác hằng số thì đề đã sai hoặc câu hỏi có điều kiện thêm như F(1) = 0 để chọn C.
Cách này có dùng cho câu Phần II, III của đề từ 2025 không?
Không nên. Phần II và III yêu cầu tính giá trị thật như ∫₀¹ f(x)dx hay diện tích, chứ không cho đáp án để loại. Với các phần đó, dùng phím ∫ của máy hoặc công cụ tính tích phân trên website để ra con số rồi làm tròn ở bước cuối; công cụ này chỉ giúp Phần I chọn đúng F trong bốn phương án.
Kết quả trên công cụ có trùng máy thật không?
Về kết luận đúng/sai thì trùng, vì cả hai đều kiểm tra F′(x₀) − f(x₀) tại cùng điểm. Số lẻ ở cột hiệu có thể khác ở chữ số thứ 10 hoặc máy hiện 0 trong khi công cụ hiện 10⁻¹¹; đó là khác biệt về cách làm tròn hiển thị, không ảnh hưởng đến đáp án bạn chọn.
Căn cứ / Nguồn
- Hướng dẫn sử dụng fx-580VN X (Casio), mục “Tính toán vi phân” (d/dx) và mục “CALC”: cú pháp d/dx(f(x), a), sai số, cách thay giá trị biến.
- SGK Toán 12 (Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 2), chương IV Nguyên hàm và tích phân, bài Nguyên hàm: định nghĩa F′(x) = f(x) và họ nguyên hàm F(x) + C.
- SGK Toán 12 (Chân trời sáng tạo, tập 2), chương IV, bài 1 Nguyên hàm: bảng nguyên hàm cơ bản.
- Quyết định 4068/QĐ-BGDĐT (28/11/2023): cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT từ 2025, Phần I gồm 12 câu trắc nghiệm bốn phương án.
Chuỗi phím viết theo bố cục fx-580VN X; các mục đánh dấu “đang kiểm chứng” sẽ được xác nhận trên máy thật trước khi gỡ nhãn. Cập nhật: 21/09/2026.