- 15SHIFT÷3×2x^■3▶×1x^■2=C(5,3)·2³·1² = 80
Công cụ này tìm hệ số của xᵏ trong khai triển (ax + b)ⁿ, in khai triển đầy đủ khi n ≤ 10 và hiện chuỗi phím nCr rồi nhân lũy thừa trên máy Casio fx-580VN X. Dùng cho học sinh lớp 10 học nhị thức Newton với n = 4, 5 và công thức tổng quát trong chuyên đề học tập.
Trong đề thi tốt nghiệp THPT từ 2025, hệ số nhị thức xuất hiện ở Phần I dưới dạng một câu trắc nghiệm ngắn, nên bạn cần bấm một dòng ra ngay con số thay vì khai triển tay cả đa thức.
Cách bấm trên Casio fx-580VN X
Trên fx-580VN X bạn ở MENU 1 (Calculate) và bấm một dòng: n SHIFT ÷ k × a x^■ k ▶ × b x^■ (n − k) =. SHIFT ÷ là nCr, x^■ là phím lũy thừa; phím ▶ đưa con trỏ ra khỏi ô số mũ.
- nhập 5 SHIFT ÷ nhập 3 × nhập 2 x^■ nhập 3 ▶ × nhập 1 x^■ nhập 2 = — C(5,3)·2³·1² = 80
Kết quả mong đợi trên máy: 80.
Trên fx-880BTG
Trên fx-880BTG, nCr nằm trong CATALOG → Probability, phím lũy thừa vẫn là x^■, kết thúc bằng EXE thay cho =. Chuỗi phím 880BTG đang được bổ sung.
Cách đọc kết quả máy hiện
Máy hiện đúng một số là hệ số cần tìm; công cụ hiện thêm C(n, k), số hạng tổng quát, khai triển đầy đủ và tổng các hệ số để bạn kiểm tra.
- Hệ số của xᵏ: dòng kết quả chính, bằng C(n, k)·aᵏ·bⁿ⁻ᵏ. Đây là số máy hiện sau khi bấm =, ví dụ 80 với (2x + 1)⁵ và k = 3.
- Số hạng tổng quát: công cụ ghi rõ C(n, k)·(ax)ᵏ·bⁿ⁻ᵏ với số cụ thể, ví dụ C(5, 3)·2³·1²·x³, để bạn chép vào lời giải tự luận.
- Khai triển (chỉ khi n ≤ 10): đa thức viết từ bậc cao xuống bậc thấp, dấu trừ xen kẽ đúng khi b âm, ví dụ (x − 2)⁴ = x⁴ − 8x³ + 24x² − 32x + 16.
- Tổng hệ số (x = 1): bằng (a + b)ⁿ, dùng kiểm tra nhanh: (2x + 1)⁵ có tổng hệ số 3⁵ = 243, cộng 32 + 80 + 80 + 40 + 10 + 1 phải ra đúng số này.
- Lưu ý k trong công cụ là số mũ của x, không phải số thứ tự số hạng. Số hạng thứ k + 1 trong SGK ứng với số mũ n − k của x nếu viết (a + b)ⁿ theo thứ tự aⁿ⁻ᵏbᵏ.
Công thức / Cách làm
Công cụ dùng công thức nhị thức Newton với tổ hợp C(n, k) tính bằng số nguyên lớn rồi nhân với lũy thừa của a và b.
- (ax + b)ⁿ = Σ C(n, k)·(ax)ᵏ·bⁿ⁻ᵏ với k chạy từ 0 đến n; mỗi k cho đúng một số hạng chứa xᵏ.
- Hệ số của xᵏ = C(n, k)·aᵏ·bⁿ⁻ᵏ. Với (2x + 1)⁵, k = 3: C(5, 3)·2³·1² = 10·8·1 = 80.
- Trên máy, bấm nCr trước rồi nhân hai lũy thừa; vì nCr có ưu tiên cao hơn phép nhân nên không cần ngoặc quanh 5 nCr 3.
- Khi b âm, phải đặt b trong ngoặc trước khi lũy thừa: ( (−) 2 ) x^■ 2 cho 4, còn (−) 2 x² cho −4 vì máy tính lũy thừa trước dấu trừ.
- Kiểm tra: tổng các hệ số bằng (a + b)ⁿ; hệ số của xⁿ bằng aⁿ; số hạng tự do bằng bⁿ.
| Khai triển | Hệ số cần tìm | Bấm trên fx-580VN X | Máy hiện |
|---|---|---|---|
| (2x + 1)⁵ | x³ | 5 SHIFT ÷ 3 × 2 x^■ 3 ▶ × 1 x^■ 2 = | 80 |
| (x − 2)⁴ | x² | 4 SHIFT ÷ 2 × 1 x^■ 2 ▶ × ( (−) 2 ) x^■ 2 = | 24 |
| (x + 1)¹⁰ | x⁵ | 10 SHIFT ÷ 5 = | 252 |
Hệ số là số nguyên nên máy và công cụ cho cùng kết quả đến chữ số cuối; chỉ khi n lớn hơn 10 công cụ không in khai triển mà chỉ tính hệ số.
Ví dụ
Ba ví dụ dưới đây là case kiểm thử của công cụ; số máy hiện trùng với dòng kết quả chính.
| Đề bài | Nhập | Kết quả |
|---|---|---|
| Tìm hệ số của x³ trong khai triển (2x + 1)⁵ | a = 2, b = 1, n = 5, k = 3 | 80; khai triển 32x⁵ + 80x⁴ + 80x³ + 40x² + 10x + 1; tổng hệ số 243 |
| Khai triển (x − 2)⁴ và tìm hệ số của x² | a = 1, b = −2, n = 4, k = 2 | 24; khai triển x⁴ − 8x³ + 24x² − 32x + 16; tổng hệ số 1 |
| Tìm hệ số của x⁵ trong (1 + x)¹⁰ | a = 1, b = 1, n = 10, k = 5 | 252; tổng hệ số 1024 |
Ví dụ 1: Máy hiện 80 sau khi bấm 5 SHIFT ÷ 3 × 2 x^■ 3 ▶ × 1 x^■ 2 =. Hệ số x⁴ cũng là 80 vì C(5, 4)·2⁴ = 5·16, đọc kỹ đề hỏi bậc nào.
Ví dụ 2: C(4, 2)·1²·(−2)² = 6·1·4 = 24. Trên máy phải bấm ( (−) 2 ) x^■ 2 để có 4; tổng hệ số (1 − 2)⁴ = 1 khớp với 1 − 8 + 24 − 32 + 16.
Ví dụ 3: Vì a = b = 1, hệ số chính là C(10, 5), chỉ cần bấm 10 SHIFT ÷ 5 = và máy hiện 252. Đây là số lớn nhất trong hàng 10 của tam giác Pascal.
Lỗi thường gặp khi bấm
Sai sót phổ biến nhất là nhầm k với số thứ tự số hạng và quên ngoặc khi b âm; máy không báo lỗi mà lặng lẽ cho số sai.
- Đề hỏi “số hạng thứ 4” mà nhập k = 4: số hạng thứ 4 ứng với k = 3 theo cách viết C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ của SGK. Hãy quy về số mũ của x rồi mới nhập.
- Bấm (−) 2 x^■ 2 thay vì ( (−) 2 ) x^■ 2: máy tính −(2²) = −4 nên hệ số đổi dấu. Luôn đặt số âm trong ngoặc trước khi lũy thừa.
- Quên bấm ▶ sau số mũ: phần × b x^■ … bị nuốt vào ô số mũ, máy ra số rất lớn hoặc Math ERROR. Bấm ▶ để con trỏ trở về dòng chính.
- Nhập k lớn hơn n: công cụ báo “k nguyên từ 0 đến n”, còn máy báo Argument ERROR ở nCr. Hệ số của bậc cao hơn n luôn bằng 0.
- Hỏi hệ số của x³ trong (2x + 1)⁵ nhưng chỉ bấm 5 nCr 3 = 10 rồi khoanh: thiếu nhân 2³ = 8. Chỉ khi a = b = 1 hệ số mới bằng đúng C(n, k).
Gặp thông báo lỗi khác, tra nhanh tại bảng lỗi máy tính Casio và cách sửa.
Công cụ liên quan
Nhị thức Newton nối trực tiếp với phím nCr, tổng Σ và các bài về đa thức bên dưới.
- Tính tổ hợp nCr, chỉnh hợp nPr, giai thừa — tính riêng C(n, k), P(n, k) và xem cả hàng tam giác Pascal của n
- Tính tổng Σ và tích Π bằng Casio — tính tổng Σ C(n, k)·2ᵏ hoặc tổng hệ số bằng phím Σ khi đề hỏi tổng nhiều số hạng
- Kiểm tra đáp án trắc nghiệm bằng CALC — thử nhanh 4 phương án trắc nghiệm bằng CALC khi đề cho sẵn biểu thức
- Phân tích đa thức thành nhân tử — làm ngược lại: từ đa thức đã khai triển tìm lại dạng (ax + b)ⁿ
- Hub Số học & tổ hợp — toàn bộ công cụ cùng nhóm, lọc theo lớp
Câu hỏi thường gặp
Máy Casio fx-580VN X có khai triển được cả nhị thức Newton không?
Không. Máy không có chức năng khai triển đa thức; nó chỉ tính từng hệ số bằng nCr nhân lũy thừa. Muốn xem cả khai triển, bạn dùng công cụ trên trang với n ≤ 10, hoặc bấm lần lượt từng k trên máy. Với bài trắc nghiệm, thường đề chỉ hỏi một hệ số nên một dòng phím là đủ.
k trong công cụ và k trong sách giáo khoa có giống nhau không?
Không hoàn toàn. SGK viết (a + b)ⁿ = Σ C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ nên số hạng thứ k + 1 chứa bᵏ. Công cụ dùng k là số mũ của x để bạn nhập thẳng bậc đề hỏi. Nếu đề hỏi số hạng thứ 4 của (x + 2)⁶, số mũ của x là 6 − 3 = 3, bạn nhập k = 3.
Vì sao bấm 4 nCr 2 × −2 x² lại ra −24 thay vì 24?
Vì máy tính lũy thừa trước dấu trừ: −2 x² được hiểu là −(2²) = −4. Bạn phải bấm ( (−) 2 ) x² để có (−2)² = 4, khi đó 6·4 = 24. Công cụ luôn ghi chuỗi phím có ngoặc quanh số âm để tránh lỗi này; hãy bấm đúng theo chuỗi hiển thị.
Làm sao tính tổng các hệ số mà không khai triển?
Thay x = 1 vào (ax + b)ⁿ, tổng hệ số bằng (a + b)ⁿ. Ví dụ (2x + 1)⁵ có tổng hệ số 3⁵ = 243; (x − 2)⁴ có tổng 1. Trên máy chỉ cần bấm ( 2 + 1 ) x^■ 5 =. Công cụ hiện sẵn dòng Tổng hệ số để bạn đối chiếu với khai triển.
Trong đề thi tốt nghiệp từ 2025, nhị thức Newton hỏi thế nào?
Theo cấu trúc đề tại Quyết định 4068/QĐ-BGDĐT, nội dung tổ hợp thuộc chương trình lớp 10 nên chủ yếu xuất hiện ở Phần I trắc nghiệm, hỏi một hệ số hoặc một số hạng. Bạn bấm nCr nhân lũy thừa ra con số rồi đối chiếu phương án; không cần khai triển toàn bộ.
Căn cứ / Nguồn
- Hướng dẫn sử dụng fx-580VN X (Casio), mục “Hoán vị (nPr) và tổ hợp (nCr)” và mục “Thứ tự ưu tiên tính toán”: nCr tính trước phép nhân, lũy thừa tính trước dấu âm.
- SGK Toán 10 (Kết nối tri thức, tập 2), chương VIII, bài Nhị thức Newton: khai triển (a + b)⁴, (a + b)⁵ và tam giác Pascal.
- Chuyên đề học tập Toán 10 (Kết nối tri thức), chuyên đề Phương pháp quy nạp toán học và nhị thức Newton: công thức tổng quát và số hạng tổng quát.
- Quyết định 4068/QĐ-BGDĐT (28/11/2023): cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT từ 2025.
Chuỗi phím viết theo bố cục fx-580VN X; các mục đánh dấu “đang kiểm chứng” sẽ được xác nhận trên máy thật trước khi gỡ nhãn. Cập nhật: 21/09/2026.