Tính phân phối nhị thức, Poisson bằng Casio fx-580VN X, Phần III

Công cụ này tính xác suất P(X = k), P(X ≤ k), P(X ≥ k) của biến ngẫu nhiên rời rạc theo phân phối nhị thức B(n, p) hoặc phân phối Poisson(λ), kèm kỳ vọng E(X), phương sai V(X), và hiện đúng chuỗi phím MENU 7 của máy Casio fx-580VN X. Dùng cho học sinh lớp 12 học Chuyên đề Biến ngẫu nhiên rời rạc.

Trong đề thi tốt nghiệp THPT từ 2025, dạng nhị thức thường nằm ở Phần III: đề cho n phép thử độc lập với xác suất thành công p, hỏi xác suất đúng k lần; bạn phải bấm ra một con số cụ thể, không có phương án để loại trừ như Phần I.

Cách bấm trên Casio fx-580VN X

Trên fx-580VN X, vào MENU 7 (Distribution), chọn 4 (Binomial PD) hoặc 5 (Binomial CD) rồi Variable, nhập x, N, p theo thứ tự máy hỏi; Poisson dùng mục 6 và 7 với x, λ.

1. MENU 7 4 2 — Binomial PD → Variable
2. nhập 3 = nhập 10 = nhập 0.3 = — x = 3, N = 10, p = 0.3 → 0.266827932
3. MENU 7 5 2 nhập 3 = nhập 10 = nhập 0.3 = — Binomial CD → P(X ≤ 3) = 0.6496107184
4. MENU 7 6 2 nhập 3 = nhập 2 = — Poisson PD x = 3, λ = 2 → 0.1804470443

Kết quả mong đợi trên máy: 0.6496107184.

Trên fx-880BTG

Trên fx-880BTG bạn bấm HOME, chọn app Distribution, chọn Binomial PD/CD hoặc Poisson PD/CD rồi nhập tham số và bấm EXE; chuỗi phím 880BTG đang được bổ sung.

Cách đọc kết quả máy hiện

Máy hiện một xác suất duy nhất mỗi lần bấm, phải chạy riêng PD và CD để có đủ số cần dùng.

• Binomial PD (Probability Distribution): cho đúng một giá trị P(X = k), dùng khi đề hỏi “xác suất đúng k lần”.
• Binomial CD (Cumulative Distribution): cho P(X ≤ k); muốn P(X ≥ k) phải lấy 1 − P(X ≤ k − 1), máy không có mục tính trực tiếp chiều này.
• Poisson PD/CD (MENU 7 6, 7): cùng cách đọc như nhị thức nhưng chỉ cần nhập x và λ, không có N và p.
• E(X), V(X) không hiện trên máy ở mục Distribution; công cụ tự tính bằng công thức np và np(1 − p) để bạn không phải tính tay.
• Biểu đồ cột bên dưới kết quả tô đậm cột ứng với k đang xét, giúp hình dung phân phối lệch trái hay phải.

Công thức / Cách làm

Nhị thức và Poisson dùng hai công thức khác nhau nhưng cùng cách đọc PD (đúng k) và CD (tối đa k) trên máy.

1. Nhị thức: P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ với k = 0, 1, …, n.
2. P(X ≤ k) = Σ từ i = 0 đến k của P(X = i); P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1).
3. E(X) = np, V(X) = np(1 − p), σ = √V(X) cho phân phối nhị thức.
4. Poisson: P(X = k) = e^(−λ)·λᵏ/k!; đây là mô hình giới hạn của nhị thức khi n lớn, p nhỏ, np = λ.
5. E(X) = V(X) = λ cho phân phối Poisson, đặc điểm giúp kiểm tra nhanh xem đề có mô tả đúng mô hình Poisson không.

Đại lượng	Nhị thức B(n, p)	Poisson(λ)	Ví dụ n=10, p=0,3
P(X = k)	C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ	e⁻λλᵏ/k!	P(X=3) = 0,266827932
P(X ≤ k)	Binomial CD	Poisson CD	P(X≤3) = 0,6496107184
E(X)	np	λ	E(X) = 3
V(X)	np(1 − p)	λ	V(X) = 21/10 = 2,1

Máy hiển thị 10 chữ số; công cụ dùng cùng công thức tổ hợp và hàm mũ nên trùng máy đến chữ số cuối.

Ví dụ

Hai ví dụ dưới đây lấy từ bộ case kiểm thử; bấm đúng chuỗi phím MENU 7 sẽ ra cùng số trên màn hình máy.

Đề bài	Nhập	Kết quả
Một xạ thủ bắn 10 phát, xác suất trúng mỗi phát là 0,3. Tính P(X = 3), P(X ≤ 3), E(X), V(X)	Phân phối: Nhị thức B(n, p), n = 10, p = 0,3, k = 3	P(X = 3) = 0,266827932; P(X ≤ 3) = 0,6496107184; E(X) = 3; V(X) = 21/10 = 2,1
Một tổng đài nhận trung bình 2 cuộc gọi mỗi phút theo phân phối Poisson. Tính P(X = 3) trong một phút	Phân phối: Poisson(λ), λ = 2, k = 3	P(X = 3) = 0,1804470443

Ví dụ 1: Máy: MENU 7 4 (Binomial PD) → Variable → x = 3, N = 10, p = 0,3 → = cho 0.266827932; MENU 7 5 (Binomial CD) với cùng tham số cho P(X ≤ 3) = 0.6496107184.

Ví dụ 2: Máy: MENU 7 6 (Poisson PD) → x = 3, λ = 2 → = cho 0.1804470443; đây là xác suất có đúng 3 cuộc gọi trong một phút, khác với P(X ≤ 3) dùng mục 7 (Poisson CD).

Lỗi thường gặp khi bấm

Sai ở dạng này chủ yếu do đọc nhầm PD với CD hoặc quên công thức lấy P(X ≥ k).

• Đọc P(X = k) của Binomial PD nhưng đề hỏi P(X ≤ k): phải chạy lại Binomial CD (mục 5) với cùng tham số, không tính bằng cách cộng tay từng số hạng để tránh làm tròn sớm.
• Tính P(X ≥ k) bằng P(X ≤ k) trực tiếp: máy không có mục này, phải lấy 1 − P(X ≤ k − 1); nhầm thành 1 − P(X ≤ k) sẽ thiếu đúng giá trị P(X = k).
• Nhập N (số phép thử) vào ô p hoặc ngược lại: máy báo Argument ERROR nếu p không thuộc [0; 1]; kiểm tra p luôn là số thập phân nhỏ hơn 1.
• Dùng phân phối Poisson cho bài không có “trung bình số lần xảy ra trong một khoảng”: Poisson chỉ đúng khi đề mô tả sự kiện hiếm, độc lập theo thời gian hoặc không gian.
• Nhập k > n ở phân phối nhị thức: máy báo lỗi vì không thể có nhiều hơn n lần thành công trong n phép thử; công cụ báo rõ lỗi này thay vì Argument ERROR chung chung.

Gặp thông báo lỗi khác, tra nhanh tại bảng lỗi máy tính Casio và cách sửa.

Công cụ liên quan

Các công cụ sau cùng hub Thống kê – Xác suất, hay dùng trước hoặc sau khi tính phân phối nhị thức.

• Tính tổ hợp nCr, chỉnh hợp nPr, giai thừa — tính C(n, k) riêng lẻ để hiểu công thức tổ hợp trước khi ghép vào phân phối nhị thức
• Tính phân phối chuẩn (PD, CD, ngược) — khi n lớn, p không quá gần 0 hay 1, nhị thức xấp xỉ phân phối chuẩn để so sánh
• Tính kỳ vọng, phương sai biến ngẫu nhiên rời rạc — kiểm tra lại E(X), V(X) bằng bảng phân bố xᵢ, pᵢ đầy đủ thay vì công thức np
• Tính xác suất có điều kiện, toàn phần, Bayes — khi bài kết hợp nhiều phép thử có điều kiện, cần thêm xác suất toàn phần và Bayes
• Tra cách cài đặt và reset máy Casio — tra cách bật Norm 1 khi màn hình hiện xác suất dạng khoa học khó đọc
• Hub Thống kê & xác suất — toàn bộ công cụ cùng nhóm, lọc theo lớp

Câu hỏi thường gặp

Phân phối nhị thức có nằm trong đề thi tốt nghiệp THPT từ 2025 không?

Có, thường ở Phần III trả lời ngắn theo Quyết định 4068/QĐ-BGDĐT: đề mô tả n phép thử độc lập, xác suất thành công p không đổi, hỏi xác suất đúng k lần thành công. Với dạng này bạn phải bấm ra một con số cụ thể rồi làm tròn theo yêu cầu đề, không có bốn phương án để loại trừ như Phần I.

Binomial PD và Binomial CD trên máy khác nhau thế nào?

Binomial PD (Probability Distribution) cho đúng một xác suất P(X = k) tại một điểm k. Binomial CD (Cumulative Distribution) cho tổng dồn P(X ≤ k) từ 0 đến k. Đề hỏi “xác suất đúng k lần” dùng PD, đề hỏi “xác suất không quá k lần” hoặc “ít nhất k lần” phải dùng CD rồi tính thêm bước 1 trừ đi nếu cần.

Làm sao tính P(X ≥ k) khi máy chỉ có Binomial CD cho P(X ≤ k)?

Dùng công thức phần bù: P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1). Bạn chạy Binomial CD với tham số k − 1 rồi lấy 1 trừ đi kết quả. Với B(10; 0,3) và k = 3, P(X ≤ 2) = 0,3827827864 nên P(X ≥ 3) = 1 − 0,3827827864 = 0,6172172136; công cụ trên trang tự tính cả ba giá trị PD, CD và phần bù cùng lúc.

Khi nào dùng phân phối Poisson thay vì nhị thức?

Poisson mô tả số lần một sự kiện hiếm xảy ra trong một khoảng thời gian hoặc không gian cố định, chỉ cần một tham số λ là số lần trung bình. Nhị thức cần biết số phép thử n và xác suất p của mỗi phép thử. Khi n rất lớn, p rất nhỏ và np = λ không đổi, phân phối nhị thức xấp xỉ Poisson, đây là lý do hai phân phối được đặt chung công cụ.

E(X) và V(X) trên máy Casio lấy từ đâu vì Distribution không hiện hai số này?

Mục Distribution của máy chỉ tính xác suất, không hiện E(X) hay V(X). Công cụ trên trang tự tính bằng công thức E(X) = np, V(X) = np(1 − p) cho nhị thức, hoặc E(X) = V(X) = λ cho Poisson, để bạn không phải bấm máy riêng cho hai đại lượng này khi đề hỏi thêm kỳ vọng, phương sai.

Kết quả trên công cụ có giống máy Casio thật không?

Có. Công cụ dùng đúng công thức tổ hợp C(n, k) và hàm mũ như máy, làm tròn 10 chữ số hiển thị giống nhau ở mọi case kiểm thử. Chuỗi phím MENU 7 4, 7 5, 7 6, 7 7 viết theo hướng dẫn sử dụng của Casio; nếu máy của bạn hiện khác, hãy báo qua trang liên hệ để được kiểm tra và cập nhật lại.

Căn cứ / Nguồn

• Hướng dẫn sử dụng fx-580VN X (Casio), mục “Distribution” – “Binomial PD/CD”, “Poisson PD/CD”: cách nhập x, N, p, λ.
• Chương trình Chuyên đề học tập Toán 11–12 (Thông tư 32/2018/TT-BGDĐT): chủ đề biến ngẫu nhiên rời rạc, phân phối nhị thức và phân phối Poisson.
• Quyết định 4068/QĐ-BGDĐT (28/11/2023): cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT từ 2025, Phần III trả lời ngắn phải ra con số cụ thể.

Chuỗi phím viết theo bố cục fx-580VN X; các mục đánh dấu “đang kiểm chứng” sẽ được xác nhận trên máy thật trước khi gỡ nhãn. Cập nhật: 21/09/2026.